一、內容簡介及設計理念

   本節課是在學生充分認識了圓的各部分的特征和掌握了園的周長的計算的基礎上進行教學的。通過對圓面積的研究，使學生初步掌握研究曲線圖形的基本方法，為以后學習圓柱的表面積打下基礎。本課的教學要求主要是幫助學生理解和掌握圓面積的計算公式，培養學生觀察、操作、分析、概括等能力。本節課設計了三次探究活動，第一次探究活動，通過折一折和剪拼把圓轉化成已經學過的三角形和平行四邊形，得到了解決問題的思路。第二次探究活動，圍繞著“怎樣使折出的圖形更像三角形”、“使剪拼后的圖形更像平行四邊形”這些問題開展操作、想象活動，充分體驗了“極限思想”。第三次探究活動，學生借助數字、字母、符號等，運用數學的思維方式進行思考，推導出圓的面積計算公式。

   二、教學目標：

1. 經歷圓的面積計算公式的推導過程，掌握圓的面積計算公式。

2. 能正確運用圓的面積計算公式計算圓的面積。

3. 在探究圓的面積計算公式的過程中，體會轉化的數學思想方法；初步感受極限的思想。

   三、教學重點和難點：

圓的面積計算公式的推導。

   四、教學準備：

圓形紙片、剪刀、多媒體課件等。

   五、教學過程：

教學過程   教師活動 學生活動

一、談話引入，揭示課題

二、探究新知。

1、 第一次探究，明確思路，體會“轉化”的數學思想方法

 

2、 第二次探究，明確方法，體驗“極限思想”

3；第三次探究，深化思維，推導公式。

4、 解決問題

5、小結

三、知識應用 (出示一個圓)大家看，這是什么圖形？

師：你已經掌握圓的哪些知識？

師：關于圓你還想探討什么？

(板書課題：圓的面積。)

師： 誰能摸一摸這個圓片的面積。

師：那這個圓的面積怎么求呢？(學生沉默)，請你在大腦中搜索一下，以前我們研究一個圖形的面積時，用到過哪些好的方法？

師：那圓能不能轉化成我們學過的圖形呢？請大家利用手中的圓紙片，先想一想，再動手試一試，然后在小組內交流一下。（教師巡視[【評析】“圓”作為一種由曲線圍成的圖形，與學生頭腦中熟悉的由直線段圍成的圖形(如長方形、平行四邊形等)差別比較大，因此當老師提出“怎么求圓的面積呢”，學生感到很茫然。此時，學生最渴望得到老師的指點。作為教師，如何施展自己的“點金”術，取決于教師的教學理念。在這里，老師沒有直截了當地講“方法”，而是從培養學生的解題能力入手，引導學生從頭腦里檢索已有的知識和方法：“以前我們研究一個圖形時，用到過哪些好的方法？”這樣設計，既在學生迷茫時指明了思考的方向和方法，又讓學生把“圓”這個看似特殊的圖形(用曲線圍成的圖形)與以前學過的圖形(用直線段圍成的圖形)有機地聯系起來了，溝通了知識之間的聯系，促成了遷移。

]。)

師：好，同學們停一停。剛才老師發現有的小組已經有想法了。我看你們小組的想法就很好，誰代表小組上來說一說？大家認真聽，看看他們是怎么想的。

師：噢，你想把圓轉化成我們學過的三角形來求它的面積。

師：誰還有不同的方法？

 

師：這像我們學過的什么圖形？

師：你想把圓轉化成平行四邊形來求它的面積，是不是？

師：剛才同學們有了兩種思路，可以把圓折一折，想轉化成三角形，還可以通過剪拼把圓轉化成平行四邊形，不論哪種方法，都是把圓轉化成學過的圖形來求它的面積。（板書：轉化[【評析】通過第一次探究，學生產生了兩種很有價值的思路。即通過折一折，把圓轉化成近似的三角形；通過剪拼把圓轉化成近似的平行四邊形。教師設計了“你們發現這兩種方法的共同點了嗎”這一關鍵問題，旨在引導學生通過回顧反思，達到滲透“轉化”這一數學思想方法的目的。]。）

師：同學們剛才也發現了，不管是折出的圖形，還是剪拼出的圖形，都不是很像三角形，怎樣讓它更接近這些圖形呢？是不是得進一步研究。請每個小組在兩種思路中選擇一種繼續研究。

師：各個小組都研究出結果了，誰想先來展示一下？請你們小組先說。

師：為什么要折這么多份？

師：你們同意嗎？這就是把圓折成16份時其中的一份(貼在黑板上)，和剛才平均分成4份中的一份相比，確實像三角形了。如果想讓折出的形狀更接近三角形，怎么辦？

師：你繼續折給大家看看。(學生折起來很費勁)看來同學們再繼續折紙有困難了，老師在電腦上給大家演示一下。這是同學們剛才把圓平均分成16份的形狀(課件演示“正十六邊形”)，這一份看起來像是三角形了。現在我們再把它平均分成32份，有什么變化？(課件演示，并突出其中一份的形狀。)

師：你發現了什么？

師：如果分的份數再多呢？請大家閉上眼睛想象一下，如果把圓平均分成64份、128份……分的份數越來越多，那其中的一份會是什么形狀？

師：同學們，用這個方法，成功地把求圓的面積轉化成求三角形的面積，你們的方法真好。有不一樣的方法嗎？(一個小組迫不及待地舉手想發言)請你們小組派個代表展示你們的成果。

師：這個方法還真不錯，這個小組把圓剪成8份(把這個小組的作品貼在黑板上)，和剛才剪成4份拼成的圖形相比，有什么變化呢？

師：能讓拼成的圖形更接近平行四邊形嗎？

師：哪個小組分的份數更多？

(教師讓另一組展示自己平均分成16份后拼成的圖形。)

師：和前兩次拼成的圖形比，又有什么變化？

師：如果要讓拼成的圖形比它還接近平行四邊形，怎么辦？

師：我們讓電腦來幫忙。大家看，老師在電腦上把這圓平均分了32份，看拼成新的圖形，你有什么發現呢？(課件演示。)

師：把這圓平均分了64份，看拼成新的圖形呢？

師：你發現了什么？

師：剛才大家通過剪拼把求圓的面積轉化成求長方形的面積，大家看，把圓轉化成長方形，形狀變了，什么沒變呢？

師：這樣求出了長方形的面積，也就求出了圓的面積[【評析】學生沿著自主探究出來的思路繼續研究時，一方面，從直覺上認為這樣繼續折下去或繼續剪拼下去得到的圖形一定會越來越像“三角形”或“平行四邊形”，但最終能不能說就是“三角形”或“平行四邊形”了呢？對處于小學階段的學生來說，此時不免有幾分困惑。在這里，老師有效利用學生探究出來的寶貴資源，圍繞著“怎樣更像”進行了一次又一次的追問，同時又引導學生在操作的基礎上進行想象，再充分利用課件的優勢，彌補操作與想象的不足，讓學生真切地看到了“自己想象的過程”，充分地體驗了“極限思想”。]，這種方法也很好。

師：可數學學習不僅停留在動手操作上，你得還會用數字、字母和符號把它表示出來。每個小組能不能在剛才研究的基礎上，推導出圓的面積計算公式呢？這可是一個很有挑戰性的任務！大家有沒有信心完成？

師：剛才大家利用圓紙片折的、剪拼的圖形都不太標準，老師給大家準備了屏幕上呈現的這兩種方法的示意圖幫助你思考，大家可以對照示意圖把推導的過程寫在圖的下面。

(教師按照每個小組選擇的方法分發學具。學生討論，教師巡視指導。)

師：誰想展示你們的想法？

師：大家聽清楚了嗎？誰愿意再起來說一說。

(教師再請一個同學說自己的想法。)

師：下面看電腦演示，把圓轉化成長方形，面積是相等的。長方形的長相當于圓周長的一半，寬相當于半徑，因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=πr×r=πr2。現在要求圓的面積是不是很簡單了？知道什么條件就可以求出圓的面積了？

師：你們表現得真好！我們再來聽一聽這個小組的想法。

師：說得真好。

師：剛才兩個小組推導的結果都是πr2，真是條條大路通羅馬呀。圓的面積可以用S表示，圓的面積計算公式就是：S=πr2。現在看來，求圓的面積需要什么條件就可以了？

師：知道了半徑，用π乘半徑的平方就求出了圓的面積[【評析】第三次探究結果的交流，教師有意識地先讓學生交流將圓轉化成長方形求出圓的面積公式的方法，因為這種方法學生理解起來比較容易，是要求每個學生都要掌握的方法。

]。

師：現在你能求出黑板上這個圓形紙片的面積了吧？需要什么條件？誰來和老師一起來量它的半徑？

師：面積是多少呢？請大家做在練習本上。

師：這節課大家有什么收獲？

師：這是知識上的收獲，在解決問題的方法上有沒有什么收獲呢？

師：同學們不僅學會了怎樣計算圓的面積，更重要的是大家運用轉化的方法，把圓這個新圖形轉化成了已經學過的圖形，從而求出了圓的面積。以后大家遇到新問題，都可以嘗試一下，看看能否把它轉化成已經學過的知識來解決。

書70頁練習  第2題。 生：圓形。

生1：圓的周長=2πr，圓的半徑是直徑的一半。

生2：在同一個圓的所有的半徑都相等，所有的直徑都相等。

生：圓的面積。

一生上臺摸圓的面積。

生：可以把新圖形轉化成已學過的圖形，比如平行四邊形可以通過剪拼轉化成長方形求出面積。

(學生活動。)

生1：我們把圓紙片對折得到4個三角形，求出一個三角形的面積，再乘4就能得到圓的面積。

生1：我們想把圓沿著半徑剪成4個扇形，把這些扇形重新拼一拼，拼出的圖形有些像平行四邊形。

生：平行四邊形。

小組繼續合作

生1：我們把圓對折平均分成16份，折出的形狀很像是三角形。用一個三角形的面積乘三角形的個數就能得到圓的面積。

生1：因為折成4份的話，折出的形狀是扇形，和三角形相差太大。折的份數越多，折出的形狀越像三角形。

生2：可以繼續折紙，把圓平均分的份數再多一些，分成32份。

觀看課件

生：分的份數越多，其中的一份越像三角形。

生：其中的一份基本上是三角形了。

生3：我們把圓平均分成8份，剪下來是8個近似的三角形，拼在一起是個近似的平行四邊形。

生：更像了。

生3：可以把圓分的份數再多一些。

生4：我們把圓剪成16份，拼成了平行四邊形。(把這個小組的作品貼在黑板上。)

生4：更像平行四邊形了。

生4：可以繼續分下去，分成32份，64份，128份……

生：更接近于平行四邊形了，有些像是長方形了。

生：拼成的圖形更接近長方形。

生：分的份數越多，剪拼成的圖形更接近長方形。

生：面積。

生：有！

每個小組選擇的方法分發學具。學生討論，教師巡視指導。

生1：(剪拼法)把圓剪一剪、拼一拼變成了長方形，它們的面積是相等的。長方形的長相當于圓周長的一半，用C÷2=πr表示，寬相當于半徑，用r表示。長方形的面積=長×寬，圓的面積=πr×r=πr2(實物投影呈現)。

生：圓的半徑。

生2：把圓平均分成32份，三角形的底是C÷32，高是半徑r。圓的面積=C÷32×r÷2×32=2πr×r÷2=πr2。

生：圓的半徑。

一生上臺量說：半徑是10厘米

生1：我會求圓的面積了，公式是S=πr2。

生2：可以把圓轉化成學過的圖形推導出圓的面積計算公式。

我的反思：

一、 體現“以學生發展為本”的理念，充分滿足學生探究的需求

蘇霍姆林斯基說過：“在人的心靈深處，總有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者。”而在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈。本堂課上，我通過“圓能否轉化成我們學過的圖形呢”、“怎樣能讓轉化后的圖形與三角形(平行四邊形)更接近呢”、“數學學習不僅需要動手操作，更需要動腦思考。能否在剛才研究的基礎上推導出圓的面積計算公式呢”三個緊密聯系又層層遞進的問題，激發了學生強烈的探究愿望，因此引發了學生濃厚的學習興趣。在這一內驅力的作用下，學生們根據自己的知識經驗，自主探究，交流合作，大膽嘗試，用自己獨特的方式去解決問題。教師沒有把自己的意圖強加于學生，而是充分滿足學生的探究需要。整節課在充分尊重學生思維發展的過程中，教師適時地加以引導、點撥，使學生學習的方向始終清晰明確。在探究的過程中，學生思維活躍，爭相交流，不斷迸發出創新思維的火花，真正體會到了數學探究的魅力。學生學習數學的過程是一種“再創造”的過程，在這一過程中，學生要通過自己的操作、觀察、想象和思考，自主發現，合理建構數學知識體系。本堂課上，我沒有局限于傳統的把圓剪拼成長方形的方法，而是根據學生在課堂上的思維生成，引導學生對圓轉化成三角形和長方形兩種方法進行嘗試，為學生搭建了自由探究的平臺，給學生充足的探索時空，引導學生從多方位去思考問題，自主發現，從而用不同的思路推導出圓的面積計算公式，既培養了學生思維的靈活性，又使學生親身經歷了數學知識的形成過程，同時也培養了學生的探索精神和創新意識，發展了學生的個性。二、 注重學生的個性差異，構建開放的、富有挑戰性的課堂教學模式

學生的數學學習存在著差異，因此必須從“為少數學生的教學”轉變到“為一切學生的教學”這一目標上來。為此，本堂課上，我不僅重視自己“教”的設計，更重視學生“學”的經驗。根據學生學習上的個性差異設計不同層次的教學，讓學生主動參與，自主探索，找到解決問題的各種途徑，讓不同的學生表現出不同的思維過程，讓不同思維特點的學生都有機會表達出自己的探究過程，真正使不同層次的學生得到不同程度的發展，使“學”的過程成為激活思維的、開放的過程。當我把“能否把圓轉化成我們學過的圖形呢”這個問題拋給學生并讓學生在小組內探索交流時，學生的個性差異表現得非常明顯：有的學生把紙片進行對折，發現圓對折后的圖形有些像是三角形，還有的同學會在此基礎上把圓進行剪拼，發現剪拼后的圖形有些像平行四邊形。這時我并沒有馬上表現出明確的導向性，沒有對兩種方法的優與劣作出判斷，而是引導學生按照自己的思路繼續研究下去。這時每個小組的同學都對自己的思路充滿信心，積極而投入地繼續進行研究，通過幾個層次的小組合作，交流展示，反思改進，驗證猜想，兩種方法并行前進，使課堂顯得豐富多彩，自然開放。學生在充分感受極限思想，理解轉化策略之后，利用教師發放的示意圖推導面積公式，學生的基礎差異又顯現出來。有的學生能馬上捕捉到有效信息，尋找轉化前后圖形間的關系，自主推導出公式。有的同學則顯得無所適從，找不到解決問題的突破口。這時我把解決問題的主動權放給學生，引導學生在小組內交流合作，同學之間可以互相質疑補充，在不斷的交流、碰撞、補充中逐漸明確思路，解決問題。

三、 倡導并努力實現“動手實踐、自主探索與合作交流”的學習方式

《數學課程標準》指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。”遵循這一理念，我引導學生在探索圓的面積的計算方法的過程中，經歷了三個階段：

(1) 獨立嘗試，明確思路。學生明確“怎樣把圓轉化成學過的圖形”的任務后，直接讓小組討論研究。在小組有了初步的思路后組織交流：第一小組的思路是把圓對折兩次變成扇形，求出一個扇形就能求出整個圓形的面積。第二小組的思路是把圓對折兩次，然后把它們剪開再拼成平行四邊形，從而求出圓的面積。根據學生學習的差異引導學生在交流中梳理思路、比較方法，然后改進自己的探究思路，從而找到正確的解決問題的思路。

(2) 明確方法，體會“極限思想”。學生沿著自主探究出來的思路繼續研究時，一方面，從直覺上認為這樣繼續折下去或繼續剪拼下去，得到的圖形一定會越來越像“三角形”或“平行四邊形”，但最終能不能說就是“三角形”或“平行四邊形”呢？對處于小學階段的學生來說，此時不免有幾分困惑。在這里，先讓學生利用學具繼續操作，發現圓平均分的份數的多少與拼成的圖形之間的關系。再利用學生探究出來的寶貴資源，圍繞著“怎樣更像”進行了一次又一次的追問，同時又引導學生在操作的基礎上進行想象，并充分利用課件的優勢，彌補操作與想象的不足，讓學生真切地看到了“自己想象的過程”，充分地體驗了“極限思想”。在這個過程中學生思維在交流中碰撞，在想象中得以提升，分析問題和解決同題的能力得到了提高。

(3) 深化思維，推導公式。在第二次探究中，學生主要是借助學具進行動手操作，明晰了求圓的面積的方法。操作對于小學生學習數學是必不可少的手段和方法，但數學思維的特點是要進行邏輯思考和推理。因此在這里，我用下面的這段話“數學學習不僅需要動手操作，更需要借助數字、字母和符號等進行動腦思考和推理”把學生的思考推向深入。另外，在第二次探究中，學生有的折出的圖形不夠規范，有的剪拼活動還沒有結束，但思路和方法都已經理解到到位了。在這種情況下，利用兩種方法標準的示意圖，正確地處理了操作與思維的關系。這時學生再進行計算公式的推導顯得水到渠成，渾然天成。在學生的探索活動中，三次小組合作任務明確，活動積極，富有成效。首先，提供有價值的問題進行小組合作探究。問題的設計如果過于簡單激不起學生討論的興趣。如果太難，學生的參與面又不廣。在遵循學生認知的基礎上，設計了難度適宜的三個問題，有效引領了學生的合作探索。其次，留足合作探索的時間和空間。學生在探索圓的面積計算公式時，我并沒有告訴學生“剪拼”的方法，而是充分放手讓學生去探索。事實證明，只要有足夠的時間，學生能夠探索出課堂中展示出的兩種思路，而且在這一任務的驅動下，學生研究的興趣非常濃厚，討論得非常投入而熱烈，小組匯報時表達得非常充分而有創意。第三，重視小組合作的結果，更重視合作探索過程中的感受與體驗。學生能利用多種方法推導圓的面積公式，很大原因是沒有被教師的框框所束縛，是在小組合作學習中，親自參與了知識的形成過程,情知互動，互相促進，增強了合作學習的有效性。在三次探索活動中，我把重心放在了讓學生經歷探索過程，體驗數學思想方法等過程性目標上，至于通過練習形成計算技能及解決實際問題的能力等都安排在以后的幾個課時中去完成。