主要內(nèi)容
圓柱和圓錐的體積
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、結(jié)合具體情境，讓學(xué)生探索并掌握?qǐng)A柱體積的計(jì)算方法，并能運(yùn)用計(jì)算公式正確計(jì)算圓柱體積或圓柱形容器的容積以及解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。
2、通過轉(zhuǎn)化的思想，在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上使學(xué)生理解和掌握?qǐng)A錐體積公式，能運(yùn)用公式正確地計(jì)算圓錐的體積以及解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。
3、通過圓柱、圓錐體積計(jì)算公式的推導(dǎo)、運(yùn)用的過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、操作能力和初步的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，并體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的探索性和挑戰(zhàn)性，感受數(shù)學(xué)思考過程的條理性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性，獲得成功的喜悅。
考點(diǎn)分析
1、圓柱所占空間的大小是圓柱的體積，圓柱的體積（容積） = 底面積 × 高，用含有字母的式子表示是：V = sh 或者V = лrh 。
2、圓錐所占空間的大小是圓錐的體積，圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的三分之一。即V = sh 或者V = лrh 。
典型例題
例1、（計(jì)算圓柱的體積）一個(gè)圓柱，底面周長(zhǎng)9.42分米，高20厘米。求它的體積？
分析與解：求圓柱的體積，一般根據(jù)V = sh或者 V = лrh ，題中沒有給出底面積,又沒有給出底面半徑,所以要先求出底面半徑，同時(shí)題目中單位名稱不統(tǒng)一,要注意化單位,可以統(tǒng)一為分米,也可以統(tǒng)一為厘米。
20厘米 = 2分米
底面半徑：9.42 ÷ 3.14 ÷ 2 = 1.5（分米）
體積： 3.14 × 1.5× 2 = 14.13（立方分米）
答：它的體積是14.13立方分米。
點(diǎn)評(píng)：會(huì)使用圓柱體積計(jì)算公式是一個(gè)基本的要求。但知道圓柱體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程也非常重要。體積計(jì)算公式的推導(dǎo)過程和之前的圓柱的側(cè)面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程一樣，都用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
例2、（計(jì)算圓柱的容積）
一個(gè)圓柱形的糧囤，從里面量得底面周長(zhǎng)是9.42米，高是2米，每立方米稻谷約重545千克，這個(gè)糧囤約裝稻谷多少千克？（得數(shù)保留整千克數(shù)）。
分析與解：先通過底面周長(zhǎng)求出底面半徑，再求出底面積，進(jìn)而求出容積。再去求能裝稻谷多少千克。
3.14 ×（9.42÷3.14÷2） × 2 × 545 = 7700.85 ≈ 7701（千克）
答：這個(gè)糧囤約裝稻谷7701千克。
點(diǎn)評(píng)：雖然求容積的方法和求體積的方法相同，但并不意味著體積就是容積。體積的數(shù)據(jù)是從外面量的，而容積的數(shù)據(jù)要從里面量。所以一個(gè)物體的體積都比其容積要大。
例3、（計(jì)算和圓柱的體積相關(guān)的實(shí)際問題）
有一個(gè)高為6.28分米的圓柱形機(jī)件，它的側(cè)面展開正好是一個(gè)正方形，求這個(gè)機(jī)件的體積？
分析與解：圓柱側(cè)面展開是個(gè)正方形，說明圓柱的底面周長(zhǎng)和高相等。先通過底面周長(zhǎng)求出底面積，再求體積。
3.14 ×（6.28÷3.14÷2） × 6.28 =19.7192（立方分米）
答：這個(gè)機(jī)件的體積是19.7192立方分米。
點(diǎn)評(píng)：圓柱側(cè)面展開之后得到一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)是圓柱的底面周長(zhǎng)，寬是圓柱的高。在這兒展開之后是個(gè)正方形，就說明這個(gè)圓柱的底面周長(zhǎng)和高相等。
例4、（綜合題）一種抽水機(jī)出水管的直徑是1分米，管口的水流速度是每秒2米，1分鐘能抽水多少立方米？
分析與解：每秒流出來的水的形狀，可以看成是一個(gè)底面直徑1分米，高2米的圓柱，這個(gè)圓柱的體積就是1秒種流出的水的體積，再乘60得出1分鐘抽水的體積。
1分米 = 0.1米
3.14 ×（0.1÷2） × 2 = 0.0157（立方米）
0.0157 × 60 =0.942（立方米）
答：1分鐘能抽水0.942立方米。
例5、（綜合題）把一根長(zhǎng)4米的圓柱形鋼材截成兩段，表面積比原來增加31.4平方厘米。這根鋼材的體積是多少立方厘米？
分析與解：長(zhǎng)4米是圓柱的高，要求圓柱的體積還要知道底面積。把圓柱截成兩段，增加了兩個(gè)底面的面積，即增加31.4平方厘米，可以求出圓柱的底面積。
4米 = 400厘米
31.4 ÷ 2 = 15.7（平方厘米）
15.7 × 400 = 6280（立方厘米）
答：這根鋼材的體積是6280立方厘米。
例6、（計(jì)算圓錐的體積）一個(gè)圓錐的底面半徑是6厘米，高是4厘米，求它的體積。
分析與解：已知圓錐的底面半徑、直徑、周長(zhǎng)時(shí)，都要先求出底面積，然后根據(jù)V = sh來計(jì)算圓錐的體積。在計(jì)算時(shí)，千萬不要忘記“除以3”或“乘 ”。
× 3.14 ×6 × 4 = 150.72（立方厘米）
答：圓錐的體積是150.72立方厘米。
點(diǎn)評(píng)：求圓錐的體積不能忘了最后要除以3。如果不除以3，求的就是和這個(gè)圓錐等底等高的圓柱的體積，而不是圓錐的體積。計(jì)算時(shí)，可以先算 ×6 ×4，最后再乘3.14，可以使計(jì)算簡(jiǎn)便，提高正確率。
例7、（解決和圓錐體積計(jì)算相關(guān)的實(shí)際問題）
一個(gè)圓錐形沙堆高1.5米，底面周長(zhǎng)是18.84米，每立方米沙約重1.7噸，這堆沙約重多少噸？
分析與解：要求沙堆的質(zhì)量，先要求沙堆的體積。沙堆是圓錐形，已知它的高和底面周長(zhǎng)，根據(jù)圓錐體積的計(jì)算公式，先求圓錐的底面積。
底面半徑：18.84÷3.14÷2 = 3（米）
體積： × 3.14 ×3 × 1.5 = 14.13（立方米）
沙堆的質(zhì)量：14.13 × 1.7 = 24.021（噸）
答：這堆沙約重24.021噸。
例8、判斷：（1）圓錐的體積是圓柱體積的 。………… （ ）
（2）如果一個(gè)圓錐的體積是一個(gè)圓柱體積的 ，那么它們等底等高。… （ ）
分析與解：（1）一個(gè)圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的 ，這一結(jié)論是將它的體積和它等底等高的圓柱進(jìn)行比較得到的。
（2）等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的 ；但圓錐的體積是圓柱體積的 ，并不意味著它們等底等高。
例9、（綜合題）一個(gè)圓錐的底面半徑是3厘米，體積是75.36立方厘米，高是多少厘米？
分析與解：要求圓錐的高，根據(jù)圓錐體積計(jì)算的公式，可以先用體積乘3，求出和它等底等高的圓柱的體積，再除以底面積，即高 = 體積 × 3 ÷ 底面積，注意不能用圓錐的體積直接除以底面積。也可以根據(jù)圓錐體積計(jì)算的公式列方程解答。
方法1：
底面積：3.14 ×3 = 28.26（平方厘米）
高：75.36 × 3 ÷ 28.26 = 8（厘米）
方法2：設(shè)高是ⅹ厘米。
× 3.14 ×3 × ⅹ = 75.36
9.42ⅹ = 75.36 …… 先算左邊的 ×3.14×3
ⅹ = 8
答：高是8厘米。
點(diǎn)評(píng)：通過體積去求圓錐的高時(shí)要注意先用體積乘3，求出與這個(gè)圓錐等底等高的圓柱的體積，再除以底面積，求出高；也可以根據(jù)圓錐體積計(jì)算公式用方程解答。
例10、（綜合題）把一個(gè)棱長(zhǎng)為12厘米的正方體木塊加工成一個(gè)最大的圓錐，圓錐的體積是多少立方厘米？削去的部分是多少立方厘米？
分析與解：將正方體木塊加工成一個(gè)最大的圓錐，圓錐的底面直徑和高都等于正方體的棱長(zhǎng)。
正方體的體積：12 × 12 ×12 = 1728（立方厘米）
圓錐的體積： ×3.14 ×（12÷2） × 12 = 452.16（立方厘米）
削去部分的體積：1728 – 452.16 = 1275.84（立方厘米）
答：圓錐的體積是452.16立方厘米，削去的部分是1275.84立方厘米。
小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題講解及訓(xùn)練（五）
模擬試題
一、圓柱體積
1、求下面各圓柱的體積。
（1）底面積0.6平方米，高0.5米
（2）底面半徑是3厘米，高是5厘米。
（3）底面直徑是8米，高是10米。
（4）底面周長(zhǎng)是25.12分米，高是2分米。
2、有兩個(gè)底面積相等的圓柱，第一個(gè)圓柱的高是第二個(gè)圓柱的4/7。第一個(gè)圓柱的體積是24立方厘米，第二個(gè)圓柱的的體積比第一個(gè)圓柱多多少立方厘米？
3、在直徑0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分鐘流過的水有多少立方米？
4、牙膏出口處直徑為5毫米，小紅每次刷牙都擠出1厘米長(zhǎng)的牙膏。這支牙膏可用36次。該品牌牙膏推出的新包裝只是將出口處直徑改為6毫米，小紅還是按習(xí)慣每次擠出1厘米長(zhǎng)的牙膏。這樣，這一支牙膏只能用多少次？
5、一根圓柱形鋼材，截下1.5米，量得它的橫截面的直徑是4厘米。如果每立方厘米鋼重7.8克，截下的這段鋼材重多少千克？（得數(shù)保留整千克數(shù)。）
6、把一個(gè)棱長(zhǎng)6分米的正方體木塊，削成一個(gè)最大的一圓柱體，這個(gè)圓柱的體積是多少立方分米？
7、右圖是一個(gè)圓柱體，如果把它的高截短3厘米，它的表面積減少94.2平方厘米。這個(gè)圓柱體積減少多少立方厘米？
二、圓錐體積
1、選擇題。
（1）一個(gè)圓錐體的體積是a立方米，和它等底等高的圓柱體體積是( )
① a立方米 ② 3a立方米 ③ 9立方米
（2）把一段圓鋼切削成一個(gè)最大的圓錐體，圓柱體體積是6立方米，圓錐體體積是( )立方米
① 6立方米 ② 3立方米 ③ 2立方米
2、判斷對(duì)錯(cuò)。
（1）圓柱的體積相當(dāng)于圓錐體積的3倍 ………（ ）
（2）一個(gè)圓柱體木料，把它加工成最大的圓錐體，削去的部分的體積和圓錐的體積比是2 ：1 ………（ ）
（3）一個(gè)圓柱和圓錐等底等高，體積相差21立方厘米，圓錐的體積是7立方厘米
………（ ）
3、填空
（1）一個(gè)圓柱體積是18立方厘米，與它等底等高的圓錐的體積是（ ）立方厘米。
（2）一個(gè)圓錐的體積是18立方厘米，與它等底等高的圓柱的體積是（）立方厘米。
（3）一個(gè)圓柱與和它等底等高的圓錐的體積和是144立方厘米。圓柱的體積是（ ）立方厘米，圓錐的體積是（ ）立方厘米。
4、求下列圓錐體的體積。
（1）底面半徑4厘米，高6厘米。
（2）底面直徑6分米，高8厘米。
（3）底面周長(zhǎng)31.4厘米，高12厘米。
5、一個(gè)圓錐形沙堆，高是1.5米，底面半徑是2米，每立方米沙重1.8噸。這堆沙約重多少噸？
6、一個(gè)近似圓錐形的麥堆，底面周長(zhǎng)12.56米，高1.2米，如果每立方米小麥重750千克，這堆小麥重多少千克？
7、一個(gè)長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)5厘米，寬4厘米，高3厘米，裝滿水后將水全部倒入一個(gè)高6厘米的圓錐形的容器內(nèi)剛好裝滿。這個(gè)圓錐形容器的底面積是多少平方厘米？
參考答案：
一、圓柱體積
1、求下面各圓柱的體積。
（1）底面積0.6平方米，高0.5米 0.6 × 0.5 = 0.3（立方米）
（2）底面半徑是3厘米，高是5厘米。 3.14 ×3 × 5 = 141.3（立方厘米）
（3）底面直徑是8米，高是10米。 3.14 ×（8÷2）×10 = 502.4（立方米）
（4）底面周長(zhǎng)是25.12分米，高是2分米。
3.14 ×（25.12÷3.14÷2） × 2 = 100.48（立方分米）
2、有兩個(gè)底面積相等的圓柱，第一個(gè)圓柱的高是第二個(gè)圓柱的4/7。第一個(gè)圓柱的體積是24立方厘米，第二個(gè)圓柱的的體積比第一個(gè)圓柱多多少立方厘米？
底面積相等的兩個(gè)圓柱，第一個(gè)圓柱的高是第二個(gè)圓柱的4/7，第一個(gè)圓柱的體積也就是是第二個(gè)圓柱的4/7。
24 ÷ 4/7 – 24 = 18（立方厘米）
答：第二個(gè)圓柱的的體積比第一個(gè)圓柱多18立方厘米。
3、在直徑0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分鐘流過的水有多少立方米？
3.14 ×（0.8÷2） × 2 × 60 = 60.288（立方米）
答：那么1分鐘流過的水有60.288立方米。
4、牙膏出口處直徑為5毫米，小紅每次刷牙都擠出1厘米長(zhǎng)的牙膏。這支牙膏可用36次。該品牌牙膏推出的新包裝只是將出口處直徑改為6毫米，小紅還是按習(xí)慣每次擠出1厘米長(zhǎng)的牙膏。這樣，這一支牙膏只能用多少次？
牙膏體積：1厘米 = 10毫米
3.14 ×（5÷2） × 10 × 36 = 7065（立方毫米）
7065 ÷ [3.14 ×（6÷2） × 10] = 25（次）
答：這樣，這一支牙膏只能用25次。
5、一根圓柱形鋼材，截下1.5米，量得它的橫截面的直徑是4厘米。如果每立方厘米鋼重7.8克，截下的這段鋼材重多少千克？（得數(shù)保留整千克數(shù)。）
1.5米 = 150厘米
3.14 ×（4÷2） × 150 × 7.8 = 14695.2（克）= 14.6952（千克）≈15（千克）
答：截下的這段鋼材重15千克。
6、把一個(gè)棱長(zhǎng)6分米的正方體木塊，削成一個(gè)最大的一圓柱體，這個(gè)圓柱的體積是多少立方分米？
3.14 ×（6÷2） × 6 = 169.56（立方分米）
答：這個(gè)圓柱的體積是169.56立方分米。
7、右圖是一個(gè)圓柱體，如果把它的高截短3厘米，它的表面積減少94.2平方厘米。這個(gè)圓柱體積減少多少立方厘米？
底面周長(zhǎng)： 94.2÷3 = 31.4厘米
3.14 ×（31.4÷3.14÷2） × 3 = 235.5（立方厘米）
答：這個(gè)圓柱體積減少235.5立方厘米。
二、圓錐體積
1、選擇題。
（1）一個(gè)圓錐體的體積是a立方米，和它等底等高的圓柱體體積是( ② )
① a立方米 ② 3a立方米 ③ 9立方米
（2）把一段圓鋼切削成一個(gè)最大的圓錐體，圓柱體體積是6立方米，圓錐體體積是( ③ )立方米
① 6立方米 ② 3立方米 ③ 2立方米
2、判斷對(duì)錯(cuò)。
（1）圓柱的體積相當(dāng)于圓錐體積的3倍 ………（ × ）
（2）一個(gè)圓柱體木料，把它加工成最大的圓錐體，削去的部分的體積和圓錐的體積比是2 ：1 ………（ √ ）
（3）一個(gè)圓柱和圓錐等底等高，體積相差21立方厘米，圓錐的體積是7立方厘米
………（ × ）
3、填空
（1）一個(gè)圓柱體積是18立方厘米，與它等底等高的圓錐的體積是（ 6 ）立方厘米。
（2）一個(gè)圓錐的體積是18立方厘米，與它等底等高的圓柱的體積是（54）立方厘米。
（3）一個(gè)圓柱與和它等底等高的圓錐的體積和是144立方厘米。圓柱的體積是（ 108 ）立方厘米，圓錐的體積是（ 36 ）立方厘米。
4、求下列圓錐體的體積。
（1）底面半徑4厘米，高6厘米。 ×3.14 ×4 ×6 = 100.48（立方厘米）
（2）底面直徑6分米，高8厘米。 ×3.14×（60÷2）×8 = 7536（立方厘米）
（3）底面周長(zhǎng)31.4厘米，高12厘米。
×3.14×（31.4÷3.14÷2）×12 = 314（立方厘米）
5、一個(gè)圓錐形沙堆，高是1.5米，底面半徑是2米，每立方米沙重1.8噸。這堆沙約重多少噸？
×3.14 ×2 ×1.5×1.8 = 11.304（噸）
答：這堆沙約重11.304噸。
6、一個(gè)近似圓錐形的麥堆，底面周長(zhǎng)12.56米，高1.2米，如果每立方米小麥重750千克，這堆小麥重多少千克？
×3.14×（12.56÷3.14÷2）×1.2 ×750 = 3768（千克）
答：這堆小麥重3768千克。
7、一個(gè)長(zhǎng)方體容器，長(zhǎng)5厘米，寬4厘米，高3厘米，裝滿水后將水全部倒入一個(gè)高6厘米的圓錐形的容器內(nèi)剛好裝滿。這個(gè)圓錐形容器的底面積是多少平方厘米？
5 × 4 × 3 = 60（立方厘米）
60 × 3 ÷ 6 = 30（平方厘米）
答：這個(gè)圓錐形容器的底面積是30平方厘米