主要內容

圓柱和圓錐的體積

學習目標

1、結合具體情境，讓學生探索并掌握圓柱體積的計算方法，并能運用計算公式正確計算圓柱體積或圓柱形容器的容積以及解決簡單的實際問題。

2、通過轉化的思想，在實驗的基礎上使學生理解和掌握圓錐體積公式，能運用公式正確地計算圓錐的體積以及解決簡單的實際問題。

3、通過圓柱、圓錐體積計算公式的推導、運用的過程，培養(yǎng)學生的觀察、操作能力和初步的空間觀念，培養(yǎng)學生應用所學知識解決實際問題的能力，并體驗數學問題的探索性和挑戰(zhàn)性，感受數學思考過程的條理性和數學結論的確定性，獲得成功的喜悅。

考點分析

1、圓柱所占空間的大小是圓柱的體積，圓柱的體積（容積） = 底面積 × 高，用含有字母的式子表示是：V = sh 或者V = лrh 。

2、圓錐所占空間的大小是圓錐的體積，圓錐的體積是與它等底等高的圓柱體積的三分之一。即V =  sh 或者V =  лrh 。

典型例題

例1、（計算圓柱的體積）一個圓柱，底面周長9.42分米，高20厘米。求它的體積？

分析與解：求圓柱的體積，一般根據V = sh或者 V = лrh ，題中沒有給出底面積,又沒有給出底面半徑,所以要先求出底面半徑，同時題目中單位名稱不統一,要注意化單位,可以統一為分米,也可以統一為厘米。

20厘米 = 2分米

底面半徑：9.42 ÷ 3.14 ÷ 2 = 1.5（分米）

體積：    3.14 × 1.5× 2 = 14.13（立方分米）

答：它的體積是14.13立方分米。

點評：會使用圓柱體積計算公式是一個基本的要求。但知道圓柱體積計算公式的推導過程也非常重要。體積計算公式的推導過程和之前的圓柱的側面積計算公式推導過程一樣，都用了轉化的數學思想。

例2、（計算圓柱的容積）

一個圓柱形的糧囤，從里面量得底面周長是9.42米，高是2米，每立方米稻谷約重545千克，這個糧囤約裝稻谷多少千克？（得數保留整千克數）。

分析與解：先通過底面周長求出底面半徑，再求出底面積，進而求出容積。再去求能裝稻谷多少千克。

3.14 ×（9.42÷3.14÷2） × 2 × 545 = 7700.85 ≈ 7701（千克）

答：這個糧囤約裝稻谷7701千克。

點評：雖然求容積的方法和求體積的方法相同，但并不意味著體積就是容積。體積的數據是從外面量的，而容積的數據要從里面量。所以一個物體的體積都比其容積要大。

例3、（計算和圓柱的體積相關的實際問題）

有一個高為6.28分米的圓柱形機件，它的側面展開正好是一個正方形，求這個機件的體積？

分析與解：圓柱側面展開是個正方形，說明圓柱的底面周長和高相等。先通過底面周長求出底面積，再求體積。

3.14 ×（6.28÷3.14÷2） × 6.28 =19.7192（立方分米）

答：這個機件的體積是19.7192立方分米。

點評：圓柱側面展開之后得到一個長方形，長是圓柱的底面周長，寬是圓柱的高。在這兒展開之后是個正方形，就說明這個圓柱的底面周長和高相等。

例4、（綜合題）一種抽水機出水管的直徑是1分米，管口的水流速度是每秒2米，1分鐘能抽水多少立方米？

分析與解：每秒流出來的水的形狀，可以看成是一個底面直徑1分米，高2米的圓柱，這個圓柱的體積就是1秒種流出的水的體積，再乘60得出1分鐘抽水的體積。

1分米 = 0.1米

3.14 ×（0.1÷2） × 2 = 0.0157（立方米）

0.0157 × 60 =0.942（立方米）

答：1分鐘能抽水0.942立方米。

例5、（綜合題）把一根長4米的圓柱形鋼材截成兩段，表面積比原來增加31.4平方厘米。這根鋼材的體積是多少立方厘米？

分析與解：長4米是圓柱的高，要求圓柱的體積還要知道底面積。把圓柱截成兩段，增加了兩個底面的面積，即增加31.4平方厘米，可以求出圓柱的底面積。

4米 = 400厘米

31.4 ÷ 2 = 15.7（平方厘米）

15.7 × 400 = 6280（立方厘米）

答：這根鋼材的體積是6280立方厘米。

例6、（計算圓錐的體積）一個圓錐的底面半徑是6厘米，高是4厘米，求它的體積。

分析與解：已知圓錐的底面半徑、直徑、周長時，都要先求出底面積，然后根據V =  sh來計算圓錐的體積。在計算時，千萬不要忘記“除以3”或“乘 ”。

  × 3.14 ×6  × 4 = 150.72（立方厘米）

答：圓錐的體積是150.72立方厘米。

點評：求圓錐的體積不能忘了最后要除以3。如果不除以3，求的就是和這個圓錐等底等高的圓柱的體積，而不是圓錐的體積。計算時，可以先算 ×6 ×4，最后再乘3.14，可以使計算簡便，提高正確率。

例7、（解決和圓錐體積計算相關的實際問題）

一個圓錐形沙堆高1.5米，底面周長是18.84米，每立方米沙約重1.7噸，這堆沙約重多少噸？

分析與解：要求沙堆的質量，先要求沙堆的體積。沙堆是圓錐形，已知它的高和底面周長，根據圓錐體積的計算公式，先求圓錐的底面積。

底面半徑：18.84÷3.14÷2 = 3（米）

體積：  × 3.14 ×3  × 1.5 = 14.13（立方米）

沙堆的質量：14.13 × 1.7 = 24.021（噸）

答：這堆沙約重24.021噸。

例8、判斷：（1）圓錐的體積是圓柱體積的 。………… （   ）

（2）如果一個圓錐的體積是一個圓柱體積的 ，那么它們等底等高。… （   ）

分析與解：（1）一個圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的 ，這一結論是將它的體積和它等底等高的圓柱進行比較得到的。

（2）等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的 ；但圓錐的體積是圓柱體積的 ，并不意味著它們等底等高。

例9、（綜合題）一個圓錐的底面半徑是3厘米，體積是75.36立方厘米，高是多少厘米？

分析與解：要求圓錐的高，根據圓錐體積計算的公式，可以先用體積乘3，求出和它等底等高的圓柱的體積，再除以底面積，即高 = 體積 × 3 ÷ 底面積，注意不能用圓錐的體積直接除以底面積。也可以根據圓錐體積計算的公式列方程解答。

方法1：

底面積：3.14 ×3  = 28.26（平方厘米）

高：75.36 × 3 ÷ 28.26 = 8（厘米）

方法2：設高是ⅹ厘米。

  × 3.14 ×3  × ⅹ = 75.36

9.42ⅹ = 75.36   ……  先算左邊的 ×3.14×3 

ⅹ = 8

答：高是8厘米。

點評：通過體積去求圓錐的高時要注意先用體積乘3，求出與這個圓錐等底等高的圓柱的體積，再除以底面積，求出高；也可以根據圓錐體積計算公式用方程解答。

例10、（綜合題）把一個棱長為12厘米的正方體木塊加工成一個最大的圓錐，圓錐的體積是多少立方厘米？削去的部分是多少立方厘米？

分析與解：將正方體木塊加工成一個最大的圓錐，圓錐的底面直徑和高都等于正方體的棱長。

正方體的體積：12 × 12 ×12 = 1728（立方厘米）

圓錐的體積： ×3.14 ×（12÷2） × 12 = 452.16（立方厘米）

削去部分的體積：1728 – 452.16 = 1275.84（立方厘米）

答：圓錐的體積是452.16立方厘米，削去的部分是1275.84立方厘米。