本單元教學(xué)方程的知識(shí)，是在四年級(jí)（下冊(cè)）“用字母表示數(shù)”的基礎(chǔ)上編排的。第一次教學(xué)方程，涉及的基礎(chǔ)知識(shí)比較多，教學(xué)內(nèi)容分成三部分編排。

第1~2頁(yè)教學(xué)等式的含義與方程的意義，根據(jù)直觀情境里的等量關(guān)系列方程。

第3~11頁(yè)教學(xué)等式的性質(zhì)，解方程，列方程解答一步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題。

第12~14頁(yè)全單元內(nèi)容的整理與練習(xí)。

本單元編排的一篇“你知道嗎”簡(jiǎn)要介紹了我國(guó)古代就有方程的思想，并有運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的歷史記載。

1貝擁仁降椒匠蹋逐步構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識(shí)。

方程是等式里的一類特殊對(duì)象，教材用屬概念加種差的方式，按“等式+含有未知數(shù)→方程”的線索教學(xué)方程的意義。

（1） 借助天平體會(huì)等式的含義。

等式是方程的生長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)生在前幾冊(cè)教材里對(duì)等式已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，為了有利于方程概念的建立，本單元教材首先讓學(xué)生體會(huì)等式的含義。

天平兩臂平衡，表示兩邊的物體質(zhì)量相等；兩臂不平衡，表示兩邊物體的質(zhì)量不相等。讓學(xué)生在天平平衡的直觀情境中體會(huì)等式，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。例1在天平圖下方呈現(xiàn)“=”，讓學(xué)生用等式表達(dá)天平兩邊物體質(zhì)量的相等關(guān)系，從中體會(huì)等式的含義。教材使用了“質(zhì)量”這個(gè)詞，是因?yàn)樘炱脚c其他的秤不同。習(xí)慣上秤計(jì)量物體有多重，天平計(jì)量物體的質(zhì)量是多少。教學(xué)時(shí)不要把質(zhì)量說(shuō)成重量，但不必作過(guò)多的解釋。

例2繼續(xù)教學(xué)等式，教材的安排有三個(gè)特點(diǎn)： 第一，有些天平的兩臂平衡，有些天平兩臂不平衡。根據(jù)各個(gè)天平的狀態(tài)，有時(shí)寫出的是等式，有時(shí)寫出的不是等式。學(xué)生在相等與不等的比較與感受中，能進(jìn)一步體會(huì)等式的含義。第二，寫出的四個(gè)式子里都含有未知數(shù)，有兩個(gè)是含有未知數(shù)的等式。這便于學(xué)生初步感知方程，為教學(xué)方程的意義積累了具體的素材。第三，寫四個(gè)式子時(shí)，對(duì)學(xué)生的要求由扶到放。圓圈里的關(guān)系符號(hào)都要學(xué)生填寫，學(xué)生在選擇“=”“＞”或“＜”時(shí)，能深刻體會(huì)符號(hào)兩邊相等與不相等的關(guān)系；符號(hào)兩邊的式子與數(shù)則逐漸放手讓學(xué)生填寫，這是因?yàn)樗麄円郧皼](méi)有寫過(guò)含有未知數(shù)的等式與不等式。

（2） 教學(xué)方程的意義，突出概念的內(nèi)涵與外延。

“含有未知數(shù)”與“等式”是方程意義的兩點(diǎn)最重要的內(nèi)涵。“含有未知數(shù)”也是方程區(qū)別于其他等式的關(guān)鍵特征。在第1頁(yè)的兩道例題里，學(xué)生陸續(xù)寫出了等式，也寫出了不等式；寫出了不含未知數(shù)的等式，也寫出了含有未知數(shù)的等式。這些都為教學(xué)方程的意義提供了鮮明的感知材料。教材首先告訴學(xué)生： 像x+50=150、2x=200這樣含有未知數(shù)的等式叫做方程，讓他們理解x+50=150、2x=200的共同特點(diǎn)是“含有未知數(shù)”，也是“等式”。這時(shí)，如果讓學(xué)生對(duì)兩道例題里寫出的50+50=100、x+50＞100和x+50＜200不能稱為方程的原因作出合理的解釋，那么學(xué)生對(duì)方程是等式的理解會(huì)更深刻。教材接著安排討論“等式和方程有什么關(guān)系”，并通過(guò)“練一練”第1題讓學(xué)生先找出等式，再找出方程，理解等式與方程這兩個(gè)概念之間的包含與被包含關(guān)系。即方程都是等式，但等式不都是方程。這道題里有以x為未知數(shù)的等式，也有以y為未知數(shù)的等式，使學(xué)生對(duì)“未知數(shù)”有正確的理解，防止把未知數(shù)局限為x，把方程狹隘地理解為“含有x的等式”。“練一練”第2題要求學(xué)生自己寫出一些方程并相互交流，讓它們?cè)趯懛匠虝r(shí)關(guān)注方程的本質(zhì)屬性，從而鞏固方程的概念。 

（3） 用方程表示直觀情境里的相等關(guān)系。

第2頁(yè)的“試一試”和“練一練”第3題都是看圖列方程，編排這些題的目的是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和理解現(xiàn)實(shí)情境里的等量關(guān)系的能力，體會(huì)方程是表示等量關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，從而進(jìn)一步鞏固方程的概念，并為以后列方程解決實(shí)際問(wèn)題打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。這些內(nèi)容在編排上有兩個(gè)特點(diǎn)： 一是直觀情境的呈現(xiàn)從天平圖開(kāi)始，發(fā)展到帶括線的圖畫。帶括線的圖畫在一年級(jí)（上冊(cè)）就出現(xiàn)了，學(xué)生比較熟悉。但是，從列算式求答案的習(xí)慣思維轉(zhuǎn)向列方程表示等量關(guān)系，仍然會(huì)有困難。因此，教材先讓學(xué)生看天平圖列方程。天平兩臂平衡，表示它左右兩邊物體的質(zhì)量相等，已經(jīng)在兩道例題里教學(xué)得很充分了，看天平圖列方程能讓學(xué)生初步知道什么是列方程和怎樣列方程，對(duì)依據(jù)什么列方程和列出的方程表示什么有所體驗(yàn)。 在此基礎(chǔ)上，過(guò)渡到列方程表示帶括線的圖畫里的等量關(guān)系，會(huì)平穩(wěn)得多。二是帶括線的圖畫里的等量關(guān)系，突出兩個(gè)或幾個(gè)部分?jǐn)?shù)相加是它們的總數(shù)。在幾個(gè)部分?jǐn)?shù)相同時(shí)，它們相加用乘法比較簡(jiǎn)便。這些關(guān)系是數(shù)量之間最基本的關(guān)系。而且這些關(guān)系建立在加法和乘法的意義上，學(xué)生容易理解。如文具盒的價(jià)錢加筆記本的價(jià)錢一共20元，買4本同樣的故事書一共要16.8元，列出的方程分別是12+x=20和4x=16.8。如果少數(shù)學(xué)生列出的方程是20-x=12或16.8÷x=4也是可以的，但不宜提倡；絕不能列出20-12=x、16.8÷4=x這樣的方程。因?yàn)楹笳呷匀皇沁^(guò)去列算式的思路，不利于學(xué)生體會(huì)數(shù)量間的相等關(guān)系，對(duì)以后的教學(xué)也是有弊無(wú)利的。

2崩用等式的性質(zhì)解方程。

在過(guò)去的小學(xué)數(shù)學(xué)教材里，學(xué)生是應(yīng)用四則計(jì)算的各部分關(guān)系解方程。這樣的思路只適宜解比較簡(jiǎn)單的方程，而且和中學(xué)教材不一致。《標(biāo)準(zhǔn)》從學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展和中小學(xué)教學(xué)的銜接出發(fā)，要求小學(xué)階段的學(xué)生也要利用等式的性質(zhì)解方程。因此，本單元安排了關(guān)于等式性質(zhì)的內(nèi)容，分兩段教學(xué)： 第一段是等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍然是等式；第二段是等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)不等于零的數(shù)，結(jié)果仍然是等式。在每一段教學(xué)等式的性質(zhì)以后，都及時(shí)讓學(xué)生運(yùn)用等式的性質(zhì)解方程。

（1） 在直觀情境中，按“形象感受→抽象概括”的方式教學(xué)等式的性質(zhì)。

教材仍然用天平的直觀情境教學(xué)等式的性質(zhì)。因?yàn)樵趦杀燮胶獾奶炱缴希�左右兩邊物體的質(zhì)量發(fā)生相同的變化，天平的兩臂仍然保持平衡。這種現(xiàn)象能形象地表示等式的性質(zhì)，有利于學(xué)生的直觀感受。

例3教學(xué)等式的一個(gè)性質(zhì)。教材設(shè)計(jì)了四組天平圖，每組左邊的天平圖表示變化前的等式，右邊的天平圖表示變化后的等式，從左邊的等式到右邊的等式，反映了等式的性質(zhì)。上面的兩組圖揭示的是等式的兩邊都加上一個(gè)相同的數(shù)，仍然是等式；下面的兩組圖揭示的是等式的兩邊都減去相同的數(shù)，仍然是等式。四組圖的內(nèi)容綜合起來(lái)就是等式的一個(gè)性質(zhì)。教材精心設(shè)計(jì)每組天平上物體的質(zhì)量，第一組圖寫出的是不含未知數(shù)的等式，在左邊的天平表示20=20以后，右邊天平的兩邊各加1個(gè)10克的砝碼，看圖填寫20+（）○20+（）。學(xué)生在兩個(gè)括號(hào)里都寫“10”，在圓圈里寫“=”，聯(lián)系天平兩邊各加10克都變成30克，而天平仍然平衡的現(xiàn)象，體會(huì)填寫的等式是合理的。這樣就首次感知了等式的兩邊都加上同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式。第二組圖寫出的是含有未知數(shù)的等式，從x=50到x+20=50+20的變化和比較中，對(duì)等式兩邊都加上相同的數(shù)有進(jìn)一步的感受。第三組圖寫出的等式兩邊都用字母a表示砝碼的質(zhì)量，圈出a克砝碼并畫上箭頭，表示去掉它的意思。聯(lián)系已有經(jīng)驗(yàn)，這里的a代表許多個(gè)數(shù)，這組天平圖與等式概括了眾多等式兩邊減去相同數(shù)的情況。第四組圖在方程x+20=70的兩邊都減去20，不但又一次表示了等式性質(zhì)，而且與解方程的方法十分接近。

另外，這道例題的8個(gè)等式中，有7個(gè)讓學(xué)生在圓圈里填寫“=”組成等式，這是引導(dǎo)學(xué)生切實(shí)關(guān)注等式有沒(méi)有變化。右邊的四個(gè)等式分別讓學(xué)生在括號(hào)里填出同時(shí)加上或減去的數(shù)，有利于發(fā)現(xiàn)等式的性質(zhì)。

例5教學(xué)等式的另一個(gè)性質(zhì)。教材注意利用學(xué)生前面學(xué)習(xí)等式性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)，在感知天平的直觀情境表示出等式性質(zhì)的一個(gè)實(shí)例后，再讓學(xué)生寫一個(gè)等式，通過(guò)比較、概括與交流，得出“等式的兩邊都乘或除以相同的數(shù)，結(jié)果仍然是等式”的結(jié)論。教學(xué)時(shí)有兩點(diǎn)應(yīng)注意： 一是讓學(xué)生正確理解圖意。上面一組天平圖的左邊原來(lái)是一個(gè)質(zhì)量為x克的物體，又添上一個(gè)質(zhì)量相同的物體；右邊原來(lái)是一個(gè)20克的砝碼，又添上一個(gè)同樣的砝碼。這表示天平左右兩邊物體的質(zhì)量都乘2。下面一組天平圖左邊原來(lái)是3個(gè)質(zhì)量都為x克的物體，現(xiàn)在只剩下1個(gè)這樣的物體；右邊原來(lái)是3個(gè)20克的砝碼，現(xiàn)在只剩下1個(gè)20克的砝碼。這表示天平左右兩邊物體的質(zhì)量都除以3。二是等式兩邊同時(shí)除以的那個(gè)數(shù)不能是0，這一點(diǎn)學(xué)生能夠接受。因?yàn)榍懊娴慕虒W(xué)中，已經(jīng)多次提到除數(shù)不能是0。

（2） 應(yīng)用等式的性質(zhì)解方程。

例4和例6教學(xué)解方程，解方程的關(guān)鍵是方程的兩邊都加（減）幾、乘（除以）幾，教材對(duì)此有精心的設(shè)計(jì)。例4看圖列出方程，學(xué)生先從圖中能得到求x值的啟示： 只要在天平的左右兩邊各去掉10克的砝碼。聯(lián)系等式的性質(zhì)與方程x+10=50的特點(diǎn)，理解“方程兩邊都減去10”的道理： 等式的兩邊都減去10，左邊就剩下x，x的值只要通過(guò)右邊的計(jì)算就能得到。例6在列出方程以后，讓學(xué)生聯(lián)系已有的解方程經(jīng)驗(yàn)和有關(guān)的等式性質(zhì)，思考“方程兩邊都要除以幾”這個(gè)問(wèn)題，并解這個(gè)方程。這些設(shè)計(jì)都體現(xiàn)了從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的教育理念。另外，例4的編寫還注意了三點(diǎn)： 一是示范了解方程的書寫格式，強(qiáng)調(diào)等式變換時(shí)，各個(gè)等式的等號(hào)要上下對(duì)齊，教學(xué)時(shí)必須嚴(yán)格遵循；二是求得x=40后，通過(guò)“是不是正確答案”的質(zhì)疑，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“左右兩邊是不是相等”進(jìn)行檢驗(yàn)；三是在回顧反思求x值的過(guò)程基礎(chǔ)上，講了什么是“解方程”。這些都是以后解方程時(shí)反復(fù)使用的知識(shí)。

幫助學(xué)生逐漸掌握解方程的方法并形成相應(yīng)的技能，是教材編寫時(shí)認(rèn)真思考的問(wèn)題。用好教材設(shè)計(jì)的兩道題，能培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。一處是第4頁(yè)“練一練”第1題，為了使方程的左邊只剩下x，方程的左邊已經(jīng)加上25（或減去18），右邊應(yīng)該怎樣？這是剛開(kāi)始教學(xué)解方程時(shí)的設(shè)計(jì)。通過(guò)在方框里填數(shù)，在圓圈里填運(yùn)算符號(hào)， 引導(dǎo)學(xué)生正確應(yīng)用等式的性質(zhì)，體會(huì)解方程的策略和思路，理出解方程的關(guān)鍵步驟。學(xué)生在方框里填數(shù)一般不會(huì)有問(wèn)題，在圓圈里填運(yùn)算符號(hào)可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。要通過(guò)交流和評(píng)價(jià)，幫助他們正確掌握方程的兩邊同時(shí)加上或同時(shí)減去相同的數(shù)。另一處是第6頁(yè)第7題，簡(jiǎn)化解方程過(guò)程的書寫，濃縮思路，是在基本掌握解方程的方法以后安排的。如解方程x-20=30，在方程的兩邊都加20這一步，省寫了虛線框里的內(nèi)容： x-20+20=30+20，直接寫出x=30+20。這樣做能使解方程的思考流暢、書寫簡(jiǎn)便，從而提升解方程的能力。教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生體會(huì)簡(jiǎn)化的過(guò)程，重點(diǎn)討論圓圈里填什么符號(hào)、方框里填什么數(shù)以及為什么。第8頁(yè)“練一練”第1題、第10頁(yè)第2題的編排意圖與上面相同。

3繃蟹匠探餼鍪導(dǎo)飾侍狻

本單元解決的都是一步計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題，其中大多數(shù)都是第一學(xué)段里沒(méi)有出現(xiàn)的。這些實(shí)際問(wèn)題如果列算式解答，學(xué)生體會(huì)其中的數(shù)量關(guān)系有一定難度；如果用方程的知識(shí)解答，利用的是問(wèn)題中最本質(zhì)的數(shù)量關(guān)系，思路就順暢得多。

列方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是找到問(wèn)題里的等量關(guān)系。列方程時(shí)的數(shù)量關(guān)系與列算式時(shí)明顯不同。列算式時(shí)的數(shù)量關(guān)系把已知和未知隔裂，已知條件作為一方，要求的問(wèn)題為另一方，通過(guò)已知數(shù)量的運(yùn)算得到未知數(shù)量。而列方程的數(shù)量關(guān)系，把已知和未知融合起來(lái)，共同參與運(yùn)算。尋找等量關(guān)系是列方程解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)重點(diǎn)，也是教學(xué)的難點(diǎn)。為此，教材作了三步安排。

（1） 教學(xué)方程意義的時(shí)候，列方程表示簡(jiǎn)單現(xiàn)象里的等量關(guān)系，有第2頁(yè)“試一試”，“練一練”第3題，練習(xí)一第1~3題等。這些簡(jiǎn)單現(xiàn)象都是學(xué)生能夠接受的，并以他們熟悉的方式呈現(xiàn)，如天平圖、帶括線的圖畫、線段圖、圖文結(jié)合的敘述等。讓學(xué)生對(duì)什么是列方程、怎樣列方程，尤其是依據(jù)什么列方程、列出的方程表示什么意思有所體會(huì)。在尋找等量關(guān)系和列方程的時(shí)候要注意兩點(diǎn)： 一是聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，按照事情的發(fā)生與發(fā)展線索，理順數(shù)量關(guān)系。如買1件上衣和1條褲子一共用去86元，原有的圖書借出56本還剩60本，付出的錢數(shù)減電話機(jī)的價(jià)錢得找回的錢數(shù)，媽媽的歲數(shù)減小紅的歲數(shù)得媽媽比小紅大的歲數(shù)。有了這些等量關(guān)系，列方程就方便了。二是暫時(shí)不要鼓勵(lì)對(duì)數(shù)量關(guān)系的發(fā)散性思考，也不要提倡列出的方程多樣，確保把握和應(yīng)用事件里的最基本的等量關(guān)系。這對(duì)以后的教學(xué)十分重要。

（2） 教學(xué)解方程的時(shí)候，滲透列方程解決實(shí)際問(wèn)題的思想。例4求天平左邊正方體的質(zhì)量，例6求長(zhǎng)方形試驗(yàn)田的寬，都是先列出方程再求解。這兩道例題的教學(xué)重點(diǎn)是應(yīng)用等式性質(zhì)解方程，以實(shí)際問(wèn)題為載體有兩點(diǎn)好處： 一是初步體會(huì)列方程是解決實(shí)際問(wèn)題的一種方法，從而發(fā)展解決問(wèn)題的策略；二是繼續(xù)體會(huì)列方程的依據(jù)是實(shí)際問(wèn)題里的等量關(guān)系。例4的相等關(guān)系是天平兩邊物體的質(zhì)量相等，學(xué)生已經(jīng)比較熟悉。例6依據(jù)長(zhǎng)方形面積公式列方程，是對(duì)等量關(guān)系的一次引導(dǎo)。教學(xué)的時(shí)候，既不要沖淡例題的教學(xué)重點(diǎn)，又要讓學(xué)生獲得這兩點(diǎn)體會(huì)。

（3） 例7和相配合的“試一試”“練一練”教學(xué)列方程解決實(shí)際問(wèn)題，主要解決相差關(guān)系和倍數(shù)關(guān)系的問(wèn)題。這些實(shí)際問(wèn)題里都有一個(gè)關(guān)于“相差多少”或“幾倍”的已知條件，只要抓住這個(gè)條件分析相差數(shù)或倍數(shù)的具體含義，就能找到實(shí)際問(wèn)題里的等量關(guān)系。

首次教學(xué)列方程解決實(shí)際問(wèn)題，例7有三個(gè)內(nèi)容： 一是怎樣尋找數(shù)量間的相等關(guān)系，二是這個(gè)問(wèn)題為什么列方程解答，三是列方程解決實(shí)際問(wèn)題的步驟與格式。這三個(gè)內(nèi)容中，第一個(gè)最重要，另兩個(gè)內(nèi)容都能在第一個(gè)內(nèi)容中得到啟示。

這道例題的相等關(guān)系“小軍的成績(jī)-小剛的成績(jī)=0.06米”，是從“小剛比小軍少跳0.06米”得出的。分析這個(gè)已知條件，首先想到小剛跳的米數(shù)、小軍跳的米數(shù)與0.06米是三個(gè)有關(guān)系的數(shù)量；接著想到小軍跳的米數(shù)多，小剛跳的米數(shù)少，0.06米是他們跳的米數(shù)的差，等量關(guān)系就出來(lái)了。把文字?jǐn)⑹龅南嗖铌P(guān)系改變成數(shù)學(xué)式子表示的相等關(guān)系，就列出了方程。

“小軍的跳高成績(jī)不知道，可以設(shè)為x米，再列方程解答”這句話是指著等量關(guān)系說(shuō)的。在等量關(guān)系中，兩個(gè)數(shù)量已知，一個(gè)數(shù)量未知，如果把未知的數(shù)量設(shè)為x米，很容易列出方程。再通過(guò)解方程，就能算出未知的數(shù)量。這就是為什么列方程解題的原因，學(xué)生體會(huì)這一點(diǎn)，也就體會(huì)了列方程是解決問(wèn)題的一種策略。于是，解題活動(dòng)就在尋找等量關(guān)系的基礎(chǔ)上，很自然地按照“寫設(shè)句--列方程--解方程”的順序進(jìn)行，列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟由此而得出。

在交流中讓學(xué)生思考還可以怎樣列方程，是因?yàn)樵诜治鲂≤娞�的米�?shù)多，小剛跳的米數(shù)少，他們跳的米數(shù)相差0.06米時(shí)，學(xué)生有可能用“小剛跳的米數(shù)+0.06=小軍跳的米數(shù)”表示等量關(guān)系。教材對(duì)此表示肯定，并不要求學(xué)生一題多解。

“試一試”輔助學(xué)生尋找相等關(guān)系，在分析“藍(lán)鯨的體重是一頭非洲象的33倍”這個(gè)條件的基礎(chǔ)上，以填空的形式得出等量關(guān)系。其他解題活動(dòng)由學(xué)生獨(dú)立完成，逐漸熟悉列方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟。練習(xí)中涉及的等量關(guān)系有了擴(kuò)展，如平行四邊形的面積公式、正方形的周長(zhǎng)公式、單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)等，要盡量讓學(xué)生獨(dú)立尋找和應(yīng)用等量關(guān)系列方程。