3.下面算式中的每一個字母代表一個數字，相同的字母代表相同的數字，不同的

字母代表不同的數字。問它們各代表什么數字時，算式成立？

48

 

4.一個六位數 ABCDEF，各位上的數字均不相等，它乘以 3、乘以 5 分別是：

這個六位數是____。

七、三階幻方

在 3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重復又不遺漏地填上 1～9 這 9 個連

續的自然數，使每行、每列、每條對角線上的三個自然數的和均相等，通常這樣的圖

形叫做三階幻方。

如果是在 4×4（四行四列）的方格中進行填數，就要不重不漏地在 4×4 方格中

填上 16 個連續的自然數，并且使方格的每行、每列及每條對角線上的四個自然數之和

均相等，這樣填出的圖形就叫做四階幻方。

幻方實際上就是一種填數游戲，它不僅限于三階、四階，還有五階，六階，……，

直到任意階。

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一般地，在 n×n（n 行 n 列）的方格里，既不重復也不遺漏地填上 n×n 個連續的

自然數（注意，這 n×n 個連續自然數不一定非要從 1 開始），每個數占 1 格，并使排

在每一行、每一列以及每條對角線上的 n 個自然數的和都相等，我們把這個相等的和

叫做幻和，n 叫做階，這樣排成的數的圖形叫做 n 階幻方。

這里我們主要學習三階幻方。

例 1 用 1～9 這九個數編排一個三階幻方。

分析與解 先用 a，b，c，…，i 分別填入圖 1 的九個空格內，以代表應填的數，如圖

2。

（1）審題首先我們應知道幻和是多少才好進行填數。同時我們可以看到圖 2 中 e

是一個很關鍵的數，因為它分別要與第二行、第二列以及兩條對角線上的另外兩個數

進行求和運算，結果都等于幻和；其次是三階幻方中四個角上的數：a，c，g，i，它

們各自都要參加一行、一列及一條對角線的求和運算。如果 e 以及四個角上的數被確

定之后，其他的數字便可以根據幻和是多少填寫出來了。

（2）求幻和

幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3

50

 

=45÷3

=15

（3）選擇解題突破口

突破口顯然是 e，在圖 2 中，

因為 a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，

所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）

=15+15＋15＋15=60，

也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。

因為 a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i=45，

所以 45+3×e=60

所以 3×e=60-45

e=5

也就是說，圖 1 中的中心方格中應填 5，請注意，這個數正好是 1～9 這九個數中

正中間的數。

（4）四個角上的數 a，c，g，i 的特點

先從 a 開始討論：a 是奇數還是偶數。

51

 

如果 a 為奇數，因為 a＋i=10，所以 i 也是奇數。因為 a＋d＋g=15，所以 d 與 g

同是奇數或同是偶數。分兩種情況：

①當 d、g 都是奇數時，因為 d＋e＋f=15，g＋h＋i=15，其中 e，i 都是奇數，所

以 f，h 也只能是奇數。這樣在圖 1 中應填的數有 a，d，e，f，g，h，i 這七個奇數，

而 1～9 這九個數中只有五個奇數，矛盾。說明 d，g 不可能為奇數。

②當 d，g 為偶數時，因為 d＋f=10，g＋h＋i=15，c＋g=10，因為 i 為奇數，所

以 f，h，c 只能是偶數，這樣就有 c，d，f，g，h 五個偶數，而 1～9 這九個數中只有

四個偶數，矛盾。說明 d，g 都是偶數也不行。

所以 a 不能是奇數，那么只能是偶數，于是由 a+i=10 知，i 也是偶數。

用同樣的方法可以得到 c，g 也只能是偶數。也就是說，圖 1 中四個角上的數都應

填偶數。

（5）試驗填數排出幻方

因為 e=5，a，c，g，i 是偶數，所以 a 的范圍有 2，4，6，8 四個數，根據幻和等

于 15 進行試驗：

當 a=2 時，i=8，c 可填 4，6。若 c=4，則有 g=6，b=9，d=7，f=3，h=1；若 c=6，

則有 g=4，b=7，d=9，f=1，h=3，這樣填出兩個三階幻方。

當 a=4，6，8 時，請同學們自己用上面的方法進行試驗填數，作為練習。

用 1～9 這九個數編排的三階幻方有八個，如圖 3 所示。

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說明：在上面圖形中給出的用 1～9 這九個數編排的八個三階幻方中的任何一個，

都可以對它上面的數字進行適當的對調與旋轉，從而得到其余七個圖形。因此，我們

把這八個圖形給出的八個幻方算作是同一種三階幻方。

例 2 如下圖的 3×3 的陣列中填入了 1～9 的自然數，構成了大家熟知的三階幻方。現

在另有一個 3×3 的陣列，請選擇九個不同的自然數填入九個方格中，使得其中最大者

為 20，最小者大于 5，且每一橫行、每一豎行及每條對角線上三個數的和都相等。

分析與解 所給的三階幻方中填入的是 1～9 這九個不同的自然數，其中最大的為 9，

最小的為 1，要使新編制的幻方中最大數為 20，而 9＋11=20，因此，如果在所給幻方

中各數都增加 11，就能構成一個新幻方，并且滿足最大數為 20，最小數大于 5。

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例 3 請編出一個三階幻方，使其幻和為 24。

分析與解 根據題意，要使三階幻方的幻和為 24，所以中心數必為 24÷3=8。那么與 8

在一條直線上的各個組的其余兩個數的和為 16。

1+15=16 2+14=16 3+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16

按上述條件填出并調整可得到一個三階幻方，其幻和為 24（如圖 7）。