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《平面向量的數(shù)量積》
《平面向量的數(shù)量積》1
一：說教材
平面向量的數(shù)量積是兩向量之間的乘法，而平面向量的坐標表示把向量之間的運算轉化為數(shù)之間的運算。本節(jié)內(nèi)容是在平面向量的坐標表示以及平面向量的數(shù)量積及其運算律的基礎上，介紹了平面向量數(shù)量積的坐標表示，平面兩點間的距離公式，和向量垂直的坐標表示的充要條件。為解決直線垂直問題，三角形邊角的有關問題提供了很好的辦法。本節(jié)內(nèi)容也是全章重要內(nèi)容之一。
二：說學習目標和要求
通過本節(jié)的學習，要讓學生掌握
（1）：平面向量數(shù)量積的坐標表示。
（2）：平面兩點間的距離公式。
（3）：向量垂直的坐標表示的充要條件。
以及它們的一些簡單應用，以上三點也是本節(jié)課的重點，本節(jié)課的難點是向量垂直的坐標表示的充要條件以及它的靈活應用。
三：說教法
在教學過程中，我主要采用了以下幾種教學方法：
（1）啟發(fā)式教學法
因為本節(jié)課重點的坐標表示公式的推導相對比較容易，所以這節(jié)課我準備讓學生自行推導出兩個向量數(shù)量積的坐標表示公式，然后引導學生發(fā)現(xiàn)幾個重要的結論：如模的計算公式，平面兩點間的距離公式，向量垂直的坐標表示的充要條件。
（2）講解式教學法
主要是講清概念，解除學生在概念理解上的疑惑感；例題講解時，演示解題過程！
主要輔助教學的手段（powerpoint）
（3）討論式教學法
主要是通過學生之間的相互交流來加深對較難問題的理解，提高學生的自學能力和發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題以及創(chuàng)新能力。
四：說學法
學生是課堂的主體，一切教學活動都要圍繞學生展開，借以誘發(fā)學生的學習興趣，增強課堂上和學生的交流，從而達到及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的目的。通過精講多練，充分調(diào)動學生自主學習的積極性。如讓學生自己動手推導兩個向量數(shù)量積的坐標公式，引導學生推導4個重要的結論！并在具體的問題中，讓學生建立方程的思想，更好的解決問題！
五：說教學過程
這節(jié)課我準備這樣進行：
首先提出問題：要算出兩個非零向量的數(shù)量積，我們需要知道哪些量？
繼續(xù)提出問題：假如知道兩個非零向量的坐標，是不是可以用這兩個向量的坐標來表示這兩個向量的數(shù)量積呢？
引導學生自己推導平面向量數(shù)量積的坐標表示公式，在此公式基礎上還可以引導學生得到以下幾個重要結論：
（1） 模的計算公式
（2）平面兩點間的距離公式。
（3）兩向量夾角的余弦的坐標表示
（4）兩個向量垂直的標表示的.充要條件
第二部分是例題講解，通過例題講解，使學生更加熟悉公式并會加以應用。
例題1是書上122頁例1，此題是直接用平面向量數(shù)量積的坐標公式的題，目的是讓學生熟悉這個公式，并在此題基礎上，求這兩個向量的夾角？目的是讓學生熟悉兩向量夾角的余弦的坐標表示公式例題2是直接證明直線垂直的題，雖然比較簡單，但體現(xiàn)了一種重要的證明方法，這種方法要讓學生掌握，其實這一例題也是兩個向量垂直坐標表示的充要條件的一個應用：即兩個向量的數(shù)量積是否為零是判斷相應的兩條直線是否垂直的重要方法之一。
例題3是在例2的基礎上稍微作了一下改變，目的是讓學生會應用公式來解決問題，并讓學生在這要有建立方程的思想。
再配以練習，讓學生能熟練的應用公式，掌握今天所學內(nèi)容。
然后是學習小結（由學生完成）
最后作業(yè)布置！
《平面向量的數(shù)量積》2
平面向量的數(shù)量積是一種非常重要的運算，同其線性運算一樣，既有其深刻的數(shù)學背景，也有其現(xiàn)實的物理背景。本節(jié)課從總體上說是一節(jié)概念教學，依據(jù)數(shù)學課程改革應關注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，在數(shù)量積概念的引入過程中，我從數(shù)學和物理兩個角度創(chuàng)設問題情景，使學生明白研究這種運算不僅是數(shù)學本身發(fā)展的必然，更是研究客觀世界的需要，從而產(chǎn)生強烈的求知欲望。相對于線性運算而言，數(shù)量積的結果發(fā)生了本質的變化，為了讓學生理解這一點，我首先安排讓學生討論影響數(shù)量積結果的因素并完成表格，其次將數(shù)量積的幾何意義提前，這樣使學生從代數(shù)和幾何兩個方面對數(shù)量積的“質變”特征有了更加充分的認識。通過嘗試練習，一方面使學生嘗試計算數(shù)量積，另一方面使學生理解數(shù)量積的物理意義，同時也為數(shù)量積的.性質埋下伏筆。
數(shù)量積的性質和運算律是數(shù)量積概念的延伸，教材中這兩方面的內(nèi)容都是以探究的形式出現(xiàn)，為了讓學生很好的完成這兩個探究活動，我始終按照先創(chuàng)設一定的情景，讓學生去發(fā)現(xiàn)結論，再由學生或師生共同完成證明。比如數(shù)量積的運算性質是將嘗試練習的結論推廣得到，數(shù)量積的運算律則是通過和實數(shù)乘法相類比得到，這樣不僅使學生感到親切自然，同時也培養(yǎng)了學生由特殊到一般的思維品質和類比創(chuàng)新的意識。在應用這個環(huán)節(jié)中，對教材中提供的四個例題，我重點講解例2和例4，例1和例3則由學生獨立完成，這樣既加強了學生的練習，同時也便于通過觀察、問答等方式對學生的掌握情況做出適當?shù)脑u價。達到提高認識，形成體系的目的，同時也為下一節(jié)課的內(nèi)容做好鋪墊，不斷激發(fā)學生的求知欲。
《平面向量的數(shù)量積》3
（1）讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成與應用過程
高中數(shù)學教學應體現(xiàn)知識的來龍去脈，創(chuàng)設問題情景，建立數(shù)學模型，讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成與應用，可以更好的理解數(shù)學概念、結論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，增強學好數(shù)學的愿望和信心。對于抽象數(shù)學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式
(2）鼓勵學生自主探索、自主學習
教師是學生學習的引導者、組織者，教師在教學中的作用必須以確定學生主體地位為前提，教學過程中要發(fā)揚民主，要鼓勵學生質疑，提倡獨立思考、動手實踐、自主探索、閱讀自學等學習方式。對于教學中問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等，要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的方案，并引導學生在與他人的`交流中選擇合適的策略，使學生切實體會到自主探索數(shù)學的規(guī)律和問題解決是學好數(shù)學的有效途徑
（3）用教材教，而不是教教材
向量的數(shù)量積這一節(jié)新課標規(guī)定在2課時內(nèi)完成2.3“平面向量的數(shù)量積”3小節(jié)的教學內(nèi)容，為了貫徹新課標的精神，體現(xiàn)新課程理念，我們做了如下的調(diào)整：把“兩個向量的夾角”這個概念放到2.1.1“向量的概念”中講，把向量在軸上的正射影這個概念放到2.2“向量的分解與向量的坐標運算”，平面向量的數(shù)量積的定義及平面向量的數(shù)量積的運算律到第一課時，把平面向量的數(shù)量積的性質及平面向量的數(shù)量積坐標運算與度量公式放到第二課時。
我感覺不足的有：
（1）教師應該如何準確的提出問題
在教學中，我提出問題，平面向量的數(shù)量積的定義中你認為應注意哪些問題？這個問題問的不夠具體，學生不知道給如何回答。其實這個問題，我也曾考慮過該如何問，只是沒有找到更合適的提問方法，能力有待加強。（2）教師如何把握“收”與“放”的問題
何時放手讓學生思考，何時教師引導學生，何時教師講授，這是個值得思考的問題。
（3）教師要點撥到位
在學生出現(xiàn)問題后，教師要及時點評加以總結，要重視思維的提升，提高學生的數(shù)學能力和素質
《平面向量的數(shù)量積》4
尊敬的各位評委、各位老師：
大家好！
今天我說課的題目是《平面向量的數(shù)量積》。下面我將從四個方面闡述我對本節(jié)課的分析和設計。
第一部分：教學內(nèi)容分析：
1、教材的地位及作用：
將平面向量引入高中課程,是現(xiàn)行數(shù)學教材的重要特色之一。由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運算性質，是數(shù)形結合和轉換的橋梁。而這一切之所以能夠實現(xiàn)，平面向量的數(shù)量積功不可沒。《平面向量的數(shù)量積》是高一數(shù)學下冊第五章第六節(jié)的內(nèi)容。平面向量數(shù)量積是中學數(shù)學的一個重要概念。它的性質很多，應用很廣，是后面學習的重要基礎。本課是第一課時，學生對概念的理解尤為重要。
2、教學目標的設定：
（1）知識目標：
平面向量數(shù)量積的定義及初步運用。
（2）能力目標：
通過對平面向量數(shù)量積定義的剖析，培養(yǎng)學生分析問題發(fā)現(xiàn)問題能力，使學生的思維能力得到訓練。
（3）情感目標：
通過本節(jié)課的學習，激發(fā)學生學習數(shù)學的.興趣，體會學習的快樂。
3、教學重點：平面向量的數(shù)量積定義。
4、教學難點：平面向量的數(shù)量積定義及平面向量數(shù)量積的運用。
第二部分：教法分析：
采用啟發(fā)引導式與講練相結合，并借助多媒體教學手段，使學生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后引導學生推導數(shù)量積的性質，通過例題和練習加深學生對平面向量數(shù)量積定義的認識，初步掌握平面向量數(shù)量積定義的運用。
《平面向量的數(shù)量積》5
說課內(nèi)容：普通高中課程標準實驗教科書(人教A版)《數(shù)學必修4》第二章第四節(jié)“平面向量的數(shù)量積”的第一課時---平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義。
下面，我從背景分析、教學目標設計、課堂結構設計、教學過程設計、教學媒體設計及教學評價設計六個方面對本節(jié)課的思考進行說明。
一、 背景分析
1、學習任務分析
平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數(shù)學的一個重要概念，在數(shù)學、物理等學科中應用十分廣泛。本節(jié)內(nèi)容教材共安排兩課時，其中第一課時主要研究數(shù)量積的概念，第二課時主要研究數(shù)量積的坐標運算，本節(jié)課是第一課時。
本節(jié)課的主要學習任務是通過物理中“功”的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎上探究數(shù)量積的性質與運算律，使學生體會類比的思想方法，進一步培養(yǎng)學生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質和運算律的基礎。同時也因為在這個概念中，既有長度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最佳結合點，不僅應用廣泛，而且很好的體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學的重點。
2、學生情況分析
學生在學習本節(jié)內(nèi)容之前，已熟知了實數(shù)的運算體系，掌握了向量的概念及其線性運算，具備了功等物理知識，并且初步體會了研究向量運算的一般方法：即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念，然后再從概念出發(fā)，在與實數(shù)運算類比的基礎上研究性質和運算律。這為學生學習數(shù)量積做了很好的鋪墊，使學生倍感親切。但也正是這些干擾了學生對數(shù)量積概念的理解，一方面，相對于線性運算而言，數(shù)量積的結果發(fā)生了本質的變化，兩個有形有數(shù)的向量經(jīng)過數(shù)量積運算后，形卻消失了，學生對這一點是很難接受的;另一方面，由于受實數(shù)乘法運算的影響，也會造成學生對數(shù)量積理解上的偏差，特別是對性質和運算律的理解。因而本節(jié)課教學的難點數(shù)量積的概念。
二、 教學目標設計
《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》 對本節(jié)課的要求有以下三條：
(1)通過物理中“功”等事例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義。
(2)體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系。
(3)能用運數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系。
從以上的背景分析可以看出，數(shù)量積的概念既是本節(jié)課的重點，也是難點。為了突破這一難點，首先無論是在概念的引入還是應用過程中，物理中“功”的實例都發(fā)揮了重要作用。其次，作為數(shù)量積概念延伸的性質和運算律，不僅能夠使學生更加全面深刻地理解概念，同時也是進行相關計算和判斷的理論依據(jù)。最后，無論是數(shù)量積的性質還是運算律，都希望學生在類比的基礎上，通過主動探究來發(fā)現(xiàn)，因而對培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的'載體。
綜上所述，結合“課標”要求和學生實際，我將本節(jié)課的教學目標定為：
1、了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義;
2、體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系，掌握數(shù)量積的性質和運算律，
并能運用性質和運算律進行相關的運算和判斷;
3、體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力。
三、課堂結構設計
本節(jié)課從總體上講是一節(jié)概念教學，依據(jù)數(shù)學課程改革應關注知識的發(fā)生和發(fā)展過程的理念，結合本節(jié)課的知識的邏輯關系，我按照以下順序安排本節(jié)課的教學：
即先從數(shù)學和物理兩個角度創(chuàng)設問題情景，通過歸納和抽象得到數(shù)量積的概念，在此基礎上研究數(shù)量積的性質和運算律，使學生進一步加深對概念的理解，然后通過例題和練習使學生鞏固概念，加深印象，最后通過課堂小結提高學生認識，形成知識體系。
四、 教學媒體設計
和“大綱”教材相比，“課標”教材在本節(jié)課的內(nèi)容安排上，雖然將向量的夾角在“平面向量基本定理”一節(jié)提前做了介紹，但卻將原來分兩節(jié)課完成的內(nèi)容合并成一節(jié)，相比較而言本節(jié)課的教學任務加重了許多。為了保證教學任務的完成，順利實現(xiàn)本節(jié)課的教學目標，考慮到本節(jié)課的實際特點，在教學媒體的使用上，我的設想主要有以下兩點：
1、制作高效實用的電腦多媒體課件，主要作用是改變相關內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，以此來節(jié)約課時，增加課堂容量。
2、設計科學合理的板書(見下)，一方面使學生加深對主要知識的印象，另一方面使學生清楚本節(jié)內(nèi)容知識間的邏輯關系，形成知識網(wǎng)絡。
平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義
一、 數(shù)量積的概念 二、數(shù)量積的性質 四、應用與提高
1、 概念： 例1：
2、 概念強調(diào) (1)記法 例2：
(2)“規(guī)定” 三、數(shù)量積的運算律 例3：
3、幾何意義：
4、物理意義：
五、 教學過程設計
課標指出：數(shù)學教學過程是教師引導學生進行學習活動的過程，是教師和學生間互動的過程，是師生共同發(fā)展的過程。為有序、有效地進行教學，本節(jié)課我主要安排以下六個活動：
活動一：創(chuàng)設問題情景，激發(fā)學習興趣
正如教材主編寄語所言，數(shù)學是自然的，而不是強加于人的。平面向量的數(shù)量積這一重要概念，和向量的線性運算一樣，也有其數(shù)學背景和物理背景，為了體現(xiàn)這一點，我設計以下幾個問題：
問題1：我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算?這些運算的結果是什么?
問題2：我們是怎么引入向量的加法運算的?我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的?
期望學生回答：物理模型→概念→性質→運算律→應用
問題3：如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，
(1)力F所做的功W= 。
(2)請同學們分析這個公式的特點：
W(功)是 量，
F(力)是 量，
S(位移)是 量，
α是 。
問題1的設計意圖在于使學生了解數(shù)量積的數(shù)學背景，讓學生明白本節(jié)課所要研究的數(shù)量積與向量的加法、減法及數(shù)乘一樣，都是向量的運算，但與向量的線性運算相比，數(shù)量積運算又有其特殊性，那就是其結果發(fā)生了本質的變化。
問題2的設計意圖在于使學生在與向量加法類比的基礎上明了本節(jié)課的研究方法和順序，為教學活動指明方向。
問題3的設計意圖在于使學生了解數(shù)量積的物理背景，讓學生知道，我們研究數(shù)量積絕不僅僅是為了數(shù)學自身的完善，而是有其客觀背景和現(xiàn)實意義的，從而產(chǎn)生了進一步研究這種新運算的愿望。同時，也為抽象數(shù)量積的概念做好鋪墊。
活動二：探究數(shù)量積的概念
1、概念的抽象
在分析“功”的計算公式的基礎上提出問題4
問題4：你能用文字語言來表述功的計算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結果又該如何表述?
學生通過思考不難回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積;兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。這樣，學生事實上已經(jīng)得到數(shù)量積概念的文字表述了，在此基礎上，我進一步明晰數(shù)量積的概念。
2、概念的明晰
已知兩個非零向量
與
，它們的夾角為
，我們把數(shù)量 ︱
︱·︱
︱cos
叫做
與
的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作：
·
，即：
·
= ︱
︱·︱
︱cos
在強調(diào)記法和“規(guī)定”后 ，為了讓學生進一步認識這一概念，提出問題5
問題5：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結果有什么不同?影響數(shù)量積大小的因素有哪些?并完成下表：
角
的范圍0°≤
<90°
=90°0°<
≤180°
·
的符號
通過此環(huán)節(jié)不僅使學生認識到數(shù)量積的結果與線性運算的結果有著本質的不同，而且認識到向量的夾角是決定數(shù)量積結果的重要因素，為下面更好地理解數(shù)量積的性質和運算律做好鋪墊。
3、探究數(shù)量積的幾何意義
這個問題教材是這樣安排的：在給出向量數(shù)量積的概念后，只介紹了向量投影的定義，直到講完例1后，為了證明運算律的第三條才直接以結論的形式呈現(xiàn)給學生，我覺得這樣安排似乎不太自然，還不如在給出向量投影的概念后，直接由學生自己歸納得出，所以做了調(diào)整。為此，我首先給出給出向量投影的概念，然后提出問題5。
如圖，我們把│
│cos
(│
│cos
)叫做向量
在
方向上(
在
方向上)的投影，記做：OB1=│
│cos
問題6：數(shù)量積的幾何意義是什么?
這樣做不僅讓學生從“形”的角度重新認識數(shù)量積的概念，從中體會數(shù)量積與向量投影的關系，同時也更符合知識的連貫性，而且也節(jié)約了課時。
4、研究數(shù)量積的物理意義
數(shù)量積的概念是由物理中功的概念引出的，學習了數(shù)量積的概念后，學生就會明白功的數(shù)學本質就是力與位移的數(shù)量積。為此，我設計以下問題 一方面使學生嘗試計算數(shù)量積，另一方面使學生理解數(shù)量積的物理意義，同時也為數(shù)量積的性質埋下伏筆。
問題7：
(1) 請同學們用一句話來概括功的數(shù)學本質：功是力與位移的數(shù)量積 。
(2)嘗試練習：一物體質量是10千克，分別做以下運動：
①、在水平面上位移為10米;
②、豎直下降10米;
③、豎直向上提升10米;
④、沿傾角為30度的斜面向上運動10米;
分別求重力做的功。
活動三：探究數(shù)量積的運算性質
1、性質的發(fā)現(xiàn)
教材中關于數(shù)量積的三條性質是以探究的形式出現(xiàn)的，為了很好地完成這一探究活動，在完成上述練習后，我不失時機地提出問題8：
(1)將嘗試練習中的① ② ③的結論推廣到一般向量，你能得到哪些結論?
(2)比較︱
·
︱與︱
︱×︱
︱的大小，你有什么結論?
在學生討論交流的基礎上，教師進一步明晰數(shù)量積的性質，然后再由學生利用數(shù)量積的定義給予證明，完成探究活動。
2、明晰數(shù)量積的性質
3、性質的證明
這樣設計體現(xiàn)了教師只是教學活動的引領者，而學生才是學習活動的主體，讓學生成為學習的研究者，不斷地體驗到成功的喜悅，激發(fā)學生參與學習活動的熱情，不僅使學生獲得了知識，更培養(yǎng)了學生由特殊到一般的思維品質。
活動四：探究數(shù)量積的運算律
1、運算律的發(fā)現(xiàn)
關于運算律，教材仍然是以探究的形式出現(xiàn)，為此，首先提出問題9
問題9：我們學過了實數(shù)乘法的哪些運算律?這些運算律對向量是否也適用?
通過此問題主要是想使學生在類比的基礎上，猜測提出數(shù)量積的運算律。
學生可能會提出以下猜測： ①
·
=
·
②(
·
)
=
(
·
) ③(
+
)·
=
·
+
·
猜測①的正確性是顯而易見的。
關于猜測②的正確性，我提示學生思考下面的問題：
猜測②的左右兩邊的結果各是什么?它們一定相等嗎?
學生通過討論不難發(fā)現(xiàn)，猜測②是不正確的。
這時教師在肯定猜測③的基礎上明晰數(shù)量積的運算律：
2、明晰數(shù)量積的運算律
3、證明運算律
學生獨立證明運算律(2)
我把運算運算律(2)的證明交給學生完成，在證明時，學生可能只考慮到λ>0的情況,為了幫助學生完善證明，提出以下問題：
當λ<0時，向量
與λ
，
與λ
的方向 的關系如何?此時，向量λ
與
及
與λ
的夾角與向量
與
的夾角相等嗎?
師生共同證明運算律(3)
運算律(3)的證明對學生來說是比較困難的，為了節(jié)約課時，這個證明由師生共同完成，我想這也是教材的本意。
在這個環(huán)節(jié)中，我仍然是首先為學生創(chuàng)設情景，讓學生在類比的基礎上進行猜想歸納，然后教師明晰結論，最后再完成證明，這樣做不僅培養(yǎng)了學生推理論證的能力，同時也增強了學生類比創(chuàng)新的意識，將知識的獲得和能力的培養(yǎng)有機的結合在一起。
活動五：應用與提高
例1、(師生共同完成)已知︱
︱=6，︱
︱=4,
與
的夾角為60°，求
(
+2
)·(
-3
)，并思考此運算過程類似于哪種運算?
例2、(學生獨立完成)對任意向量
，b是否有以下結論：
(1)(
+
)2=
2+2
·
+
2
(2)(
+
)·(
-
)=
2—
2
例3、(師生共同完成)已知︱
︱=3，︱
︱=4, 且
與
不共線，k為何值時，向量
+k
與
-k
互相垂直?并思考：通過本題你有什么收獲?
本節(jié)教材共安排了四道例題，我根據(jù)學生實際選擇了其中的三道，并對例1和例3增加了題后反思。例1是數(shù)量積的性質和運算律的綜合應用，教學時，我重點從對運算原理的分析和運算過程的規(guī)范書寫兩個方面加強示范。完成計算后，進一步提出問題：此運算過程類似于哪種運算?目的是想讓學生在類比多項式乘法的基礎上自己猜測提出例2給出的兩個公式，再由學生獨立完成證明，一方面這并不困難，另一方面培養(yǎng)了學生通過類比這一思維模式達到創(chuàng)新的目的。例3的主要作用是，在繼續(xù)鞏固性質和運算律的同時，教給學生如何利用數(shù)量積來判斷兩個向量的垂直，是平面向量數(shù)量積的基本應用之一，教學時重點給學生分析數(shù)與形的轉化原理。
為了使學生更好的理解數(shù)量積的含義，熟練掌握性質及運算律，并能夠應用數(shù)量積解決有關問題，再安排如下練習：
1、 下列兩個命題正確嗎?為什么?
①、若
≠0，則對任一非零向量
，有
·
≠0.
②、若
≠0，
·
=
·
，則
=
.
2、已知△ABC中，
=
,
=
，當
·
<0或
·
=0時，試判斷△ABC的形狀。
安排練習1的主要目的是，使學生在與實數(shù)乘法比較的基礎上全面認識數(shù)量積這一重要運算，
通過練習2使學生學會用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，進一步感受數(shù)量積的應用價值。
活動六：小結提升與作業(yè)布置
1、本節(jié)課我們學習的主要內(nèi)容是什么?
2、平面向量數(shù)量積的兩個基本應用是什么?
3、我們是按照怎樣的思維模式進行概念的歸納和性質的探究?在運算律的探究過程中，滲透了哪些數(shù)學思想?
4、類比向量的線性運算，我們還應該怎樣研究數(shù)量積?
通過上述問題，使學生不僅對本節(jié)課的知識、技能及方法有了更加全面深刻的認識，同時也為下
一節(jié)做好鋪墊，繼續(xù)激發(fā)學生的求知欲。
布置作業(yè)：
1、課本P121習題2.4A組1、2、3。
2、拓展與提高：
已知
與
都是非零向量，且
+3
與7
-5
垂直，
-4
與 7
-2
垂直求
與
的夾角。
在這個環(huán)節(jié)中，我首先考慮檢測全體學生是否都達到了“課標”的基本要求，因此安排了一組教材中的習題，目的是讓所有的學生繼續(xù)加深對數(shù)量積概念的理解和應用，為后續(xù)學習打好基礎。其次，為了能讓不同的學生在數(shù)學領域得到不同的發(fā)展，我又安排了一道有一定難度的問題供學有余力的同學選做。
六、教學評價設計
評價方式的轉變是新課程改革的一大亮點，課標指出：相對于結果，過程更能反映每個學生的發(fā)展變化，體現(xiàn)出學生成長的歷程。因此，數(shù)學學習的評價既要重視結果，也要重視過程。結合“課標”對數(shù)學學習的評價建議，對本節(jié)課的教學我主要通過以下幾種方式進行：
1、 通過與學生的問答交流，發(fā)現(xiàn)其思維過程，在鼓勵的基礎上，糾正偏差，并對其進行定
性的評價。
2、在學生討論、交流、協(xié)作時，教師通過觀察，就個別或整體參與活動的態(tài)度和表現(xiàn)做出評價，以此來調(diào)動學生參與活動的積極性。
3、 通過練習來檢驗學生學習的效果，并在講評中，肯定優(yōu)點，指出不足。
4、 通過作業(yè)，反饋信息，再次對本節(jié)課做出評價，以便查漏補缺。
《平面向量的數(shù)量積》6
一、 教材分析
1.本課的地位及作用：平面向量數(shù)量積的坐標表示，就是運用坐標這一量化工具表達向量的數(shù)量積運算，為研究平面中的距離、垂直、角度等問題提供了全新的手段。它把向量的數(shù)量積與坐標運算兩個知識點緊密聯(lián)系起來，是全章重點之一。
2學生情況分析：在此之前學生已學習了平面向量的坐標表示和平面向量數(shù)量積概念及運算，但數(shù)量積是用長度和夾角這兩個概念來表示的，應用起來不太方便，如何用坐標這一最基本、最常用的工具來表示數(shù)量積，使之應用更方便，就是擺在學生面前的一個亟待解決的問題。因此，本節(jié)內(nèi)容的學習是學生認知發(fā)展和知識構建的一個合情、合理的“生長點”。所以，本節(jié)課采取以學生自主完成為主，教師查漏補缺的教學方法。因此結合中學生的認知結構特點和學生實際。我將本節(jié)教學目標確定為：
1、理解掌握平面向量數(shù)量積的坐標表達式，會進行數(shù)量積的運算。理解掌握向量的模、夾角等公式。能根據(jù)公式解決兩個向量的夾角、垂直等問題
2、經(jīng)歷根據(jù)平面向量數(shù)量積的意義探究其坐標表示的過程，體驗在此基礎上探究發(fā)現(xiàn)向量的模、夾角等重要的度量公式的成功樂趣，培養(yǎng)學生的探究能力、創(chuàng)新精神。
教學重點
平面向量數(shù)量積的坐標表示及應用
教學難點
探究發(fā)現(xiàn)公式
二、 教學方法和手段
1教學方法：結合本節(jié)教材淺顯易懂，又有前面平面向量的數(shù)量積和向量的坐標表示等知識作鋪墊的內(nèi)容特點，兼顧高一學生已具備一定的數(shù)學思維能力和處理向量問題的方法的現(xiàn)狀，我主要采用“誘思探究教學法”，其核心是“誘導思維，探索研究”，其教學思想是“教師為主導，學生為主體，訓練為主線的原則，為此，我通過精心設置的一個個問題，激發(fā)學生的求知欲，積極的鼓勵學生的參與，給學生獨立思考的空間，鼓勵學生自主探索，最終在教師的指導下去探索發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。在教學中，我適時的對學生學習過程給予評價，適當?shù)脑u價，可以培養(yǎng)學生的自信心，合作交流的意識，更進一步地激發(fā)了學生的學習興趣，讓他們體驗成功的喜悅。
2教學手段：利用多媒體輔助教學，可以加大一堂課的信息容量，極大提高學生的學習興趣。
三、 學法指導
改善學生的學習方式是高中數(shù)學課程追求的基本理念。獨立思考，自主探索，動手實踐，合作交流等都是學習數(shù)學的重要方式，這些方式有助于發(fā)揮學生學習主觀能動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”的過程。以激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)新潛能，幫助學生養(yǎng)成獨立思考，積極探索的習慣。為了實現(xiàn)這一目標，本節(jié)教學讓學生主動參與，讓學生動手，動口、動腦。通過思考、計算、歸納、推理，鼓勵學生多向思維，積極活動，勇于探索。具體體現(xiàn)在：1、通過提出問題，把問題的求解與探究貫穿整堂課，使學生在自主探究中發(fā)現(xiàn)了結論，推廣了命題，使學生感到成果是自己得到的，增強了成就感，培養(yǎng)了學生學好數(shù)學的'信心和良好的學習動機。2、通過數(shù)與形的充分挖掘，通過對向量平行與垂直條件的坐標表示的類比，培養(yǎng)了學生數(shù)形結合的數(shù)學思想，教給了學生類比聯(lián)想的記憶方法。
四、教學程序
本節(jié)課分為復習回顧、定理推導、引申推廣、例題講析、練習與小結五部分。
復習回顧部分通過兩個問題，復習了與本節(jié)內(nèi)容相關的數(shù)量積概念，為本節(jié)內(nèi)容的學習作了必要的鋪墊。
定理推導部分通過設問，引出尋求向量的數(shù)量積的坐標表示的必要性，引入課題，并引導學生應用前述知識共同推導出數(shù)量積的坐標表示。
引申推廣部分，讓學生自主推導出向量的長度公式，向量垂直條件的坐標表示、夾角公式等三個結論，強化了學生的動手能力和自主探究能力。
例題講析，通過四道緊扣教材的例題的精講，突出了結論的應用，也起到了示范作用。
練習及小結：通過練習題驗收教學效果，突出訓練主線，小結部分畫龍點睛，強調(diào)本節(jié)重點。再結合課后作業(yè)，進一步實現(xiàn)本節(jié)課的教學目的。同時小結也體現(xiàn)主體性，由教師提出問題學生總結得出。
《平面向量的數(shù)量積》7
《2.4 平面向量的數(shù)量積》測試題
一、選擇題
1.已知向量滿足，且，則與的夾角為( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查平面向量的數(shù)量積的意義.
答案：C.
解析：根據(jù)平面向量數(shù)量積的意義，及可得，.
2.已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則等于( ).
A. B. C. D.(1，0)
考查目的：考查平面向量數(shù)量積的坐標運算.
答案：B.
解析：利用排除法. ∵在D中，，∴D不合題意；∵在C中向量不是單位向量，∴也不符題意；∵A是向量會使得，同樣不合題意，答案只有選B.
3.(20xx四川理)設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，，，則( ).
A.8 B.4 C.2 D.1
考查目的：考查平面向量加、減法運算的幾何意義，以及數(shù)形結合思想.
答案：C.
解析：∵，∴是以A為直角頂點的直角三角形.又∵M是BC的中點，∴.
二、填空題
4.已知，則與方向相同的單位向量為 .
考查目的：考查方向相同的單位向量的求法和運算.
答案：.
解析：∵，∴與方向相同的單位向量.
5.已知：，與的'夾角為，則在方向上的投影為 .
考查目的：考查平面向量投影的概念與計算.
答案：.
解析：在方向上的投影為.
6.(20xx天津文)若等邊的邊長為，平面內(nèi)一點M滿足，則＝ .
考查目的：考查平面向量的加、減法運算和平面向量的數(shù)量積運算.
答案：-2.
解析：∵，∴，，∴.
三、解答題
7.已知，若，試求實數(shù)的值.
考查目的：考查平面向量的數(shù)量積運算和平面向量垂直的性質等.
答案：.
解析：∵，∴，即，得.
8.已知向量，，.
⑴求的最小值及相應的值；
⑵若與共線，求實數(shù).
考查目的：考查平面向量的坐標運算與求函數(shù)最值等的綜合運算.
解析：⑴∵，∴，∴，當且僅當時取等號；⑵∵，與共線，∴，∴.
《平面向量的數(shù)量積》8
1.平面向量的數(shù)量積
平面向量數(shù)量積的定義
已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，把數(shù)量|a||b|cos 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab=|a||b|cos ，規(guī)定0a=0.
2.向量數(shù)量積的運算律
(1)ab=ba
(2)(a)b=(ab)=a(b)
(3)(a+b)c=ac+bc
[探究] 根據(jù)數(shù)量積的.運算律，判斷下列結論是否成立.
(1)ab=ac，則b=c嗎?
(2)(ab)c=a(bc)嗎?
提示：(1)不一定，a=0時不成立，
另外a0時，ab=ac.由數(shù)量積概念可知b與c不能確定;
(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.
(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，當a與c不共線時它們必不相等.
《平面向量的數(shù)量積》9
教學準備
教學目標
1.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義;
2.掌握平面向量數(shù)量積的重要性質及運算律;
3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理垂直的問題;
4.掌握向量垂直的條件.
教學重難點
教學重點：平面向量的數(shù)量積定義
教學難點：平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和平面向量數(shù)量積的應用
教學過程
1.平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角是θ，
則數(shù)量|a||b|cosq叫a與b的數(shù)量積，記作ab，即有ab=|a||b|cosq，(0≤θ≤π).
并規(guī)定0向量與任何向量的數(shù)量積為0.
探究：
1、向量數(shù)量積是一個向量還是一個數(shù)量?它的符號什么時候為正?什么時候為負?
2、兩個向量的`數(shù)量積與實數(shù)乘向量的積有什么區(qū)別?
(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.
(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成ab;今后要學到兩個向量的外積ab，而ab是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴格區(qū)分.符號“·”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“”代替.
(3)在實數(shù)中，若a?0，且ab=0，則b=0;但是在數(shù)量積中，若a?0，且ab=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.
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