平面向量數量積練習題

時間：2022-09-24 13:15:39 試題我要投稿

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平面向量數量積練習題

　　平面向量數量積教學要求學生掌握平面向量數量積的概念、幾何意義、性質、運算律及坐標表示，分享了平面向量數量積的練習題，歡迎借鑒！

　　一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號填在題后的括號內．)

　　1．設i，j是互相垂直的單位向量，向量a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，(a＋b)⊥(a－b)，則實數m的值為( )

　　A．－2 B．2

　　C．－12 D．不存在

　　解析：由題設知：a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，

　　∴a＋b＝(m＋2，m－4)，

　　a－b＝(m，－m－2)．

　　∵(a＋b)⊥(a－b)，

　　∴(a＋b)(a－b)＝0，

　　∴m(m＋2)＋(m－4)(－m－2)＝0，

　　解之得m＝－2.

　　故應選A.

　　答案：A

　　2．設a，b是非零向量，若函數f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的圖象是一條直線，則必有( )

　　A．a⊥b B．a∥b

　　C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|

　　解析：f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的圖象是一條直線，

　　即f(x)的表達式是關于x的一次函數．

　　而(xa＋b)(a－xb)＝x|a|2－x2ab＋ab－x|b|2，

　　故ab＝0，又∵a，b為非零向量，

　　∴a⊥b，故應選A.

　　答案：A

　　3．向量a＝(－1,1)，且a與a＋2b方向相同，則ab的范圍是( )

　　A．(1，＋∞) B．(－1,1)

　　C．(－1，＋∞) D．(－∞，1)

　　解析：∵a與a＋2b同向，

　　∴可設a＋2b＝λa(λ>0)，

　　則有b＝λ－12a，又∵|a|＝12＋12＝2，

　　∴ab＝λ－12|a|2＝λ－12×2＝λ－1>－1，

　　∴ab的范圍是(－1，＋∞)，故應選C.

　　答案：C

　　4．已知△ABC中， ab<0，S△ABC＝154，

　　|a|＝3，|b|＝5，則∠BAC等于( )

　　A．30° B．－150°

　　C．150° D．30°或150°

　　解析：∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，

　　∴sin∠BAC＝12，

　　又ab<0，∴∠BAC為鈍角，

　　∴∠BAC＝150°.

　　答案：C

　　5．(2010遼寧)平面上O，A，B三點不共線，設則△OAB的面積等于( )

　　A.|a|2|b|2－(ab)2

　　B.|a|2|b|2＋(ab)2

　　C.12|a|2|b|2－(ab)2

　　D.12|a|2|b|2＋(ab)2

　　解析：cos〈a，b〉＝ab|a||b|，

　　sin∠AOB＝1－cos2〈a，b〉＝1－ab|a||b|2，

　　所以S△OAB＝12|a||b|

　　sin∠AOB＝12|a|2|b|2－(ab)2.

　　答案：C

　　6．(2010湖南)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，則等于( )

　　A．－16 B．－8

　　C．8 D．16

　　解析：解法一：因為cosA＝ACAB，

　　故 cosA＝AC2＝16，故選D.

　　解法二：在上的投影為| |cosA＝| |，

　　故 cosA＝AC2＝16，故選D.

　　答案：D

　　二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．)

　　7．(2010江西)已知向量a，b滿足|b|＝2，a與b的夾角為60°，則b在a上的投影是________．

　　解析：b在a上的投影是|b|cos〈a，b〉＝2cos60°＝1.

　　答案：1

　　8．(2010浙江)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，則|2α＋β|的值是________．

　　解析：由于α⊥(α－2β)，所以α(α－2β)＝|α|2－2αβ＝0，故2αβ＝1，所以|2α＋β|＝4|α|2＋4αβ＋|β|2＝4＋2＋4＝10.

　　答案：10

　　9．已知|a|＝2，|b|＝2，a與b的夾角為45°，要使λb－a與a垂直，則λ＝________.

　　解析：由λb－a與a垂直，(λb－a)a＝λab－a2＝0，所以λ＝2.

　　答案：2

　　10．在△ABC中，O為中線AM上的一個動點，若AM＝2，則 )的最小值是________．

　　解析：令| |＝x且0≤x≤2，則| |＝2－x.

　　＝－2(2－x)x＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2≥－2.

　　∴ 的最小值為－2.

　　答案：－2

　　三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過程或推演步驟．)

　　11．已知|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角為45°，求使向量(2a＋λb)與(λa－3b)的夾角是銳角的λ的取值范圍．

　　解：由|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角為45°，

　　則ab＝|a||b|cos45°＝2×1×22＝1.

　　而(2a＋λb)(λa－3b)＝2λa2－6ab＋λ2ab－3λb2＝λ2＋λ－6.

　　設向量(2a＋λb)與(λa－3b)的夾角為θ，

　　則cosθ＝(2a＋λb)(λa－3b)|2a＋λb||λa－3b|>0，且cosθ≠1，

　　∴(2a＋λb)(λa－3b)>0，∴λ2＋λ－6>0，

　　∴λ>2或λ<－3.

　　假設cosθ＝1，則2a＋λb＝k(λa－3b)(k>0)，

　　∴2＝kλ，λ＝－3k，解得k2＝－23.

　　故使向量2a＋λb和λa－3b夾角為0°的λ不存在．

　　所以當λ>2或λ<－3時，向量(2a＋λb)與(λa－3b)的夾角是銳角．

　　評析：由于兩個非零向量a，b的夾角θ滿足0°≤θ≤180°，所以用cosθ＝ab|a||b|去判斷θ分五種情況：cosθ＝1，θ＝0°；cosθ＝0，θ＝90°；cosθ＝－1，θ＝180°；cosθ<0且cosθ≠－1，θ為鈍角；cosθ>0且cosθ≠1，θ為銳角．

　　12．設在平面上有兩個向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝－12，32.

　　(1)求證：向量a＋b與a－b垂直；

　　(2)當向量3a＋b與a－3b的模相等時，求α的大小．

　　解：(1)證明：因為(a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－14＋34＝0，故a＋b與a－b垂直．

　　(2)由|3a＋b|＝|a－3b|，兩邊平方得3|a|2＋23ab＋|b|2＝|a|2－23ab＋3|b|2，

　　所以2(|a|2－|b|2)＋43ab＝0，而|a|＝|b|，所以ab＝0，則－12cosα＋32sinα＝0，

　　即cos(α＋60°)＝0，

　　∴α＋60°＝k180°＋90°，

　　即α＝k180°＋30°，k∈Z，

　　又0°≤α<360°，則α＝30°或α＝210°.

　　13．已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝cosπ2－θ，sinπ2－θ，

　　(1)求證：a⊥b；

　　(2)若存在不等于0的實數k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb滿足x⊥y，試求此時k＋t2t的最小值．

　　解：(1)證明：∵ab＝cos(－θ)cosπ2－θ＋

　　sin(－θ)sinπ2－θ＝sinθcosθ－sinθcosθ＝0.

　　∴a⊥b.

　　(2)由x⊥y，得xy＝0，

　　即[a＋(t2＋3)b](－ka＋tb)＝0，

　　∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]ab＝0，

　　∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.

　　又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，

　　∴k＝t3＋3t，

　　∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3

　　＝t＋122＋114.

　　故當t＝－12時，k＋t2t有最小值114.

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