《1.1 算法與程序框圖1》測(cè)試題

時(shí)間：2021-06-11 12:50:22 試題我要投稿

關(guān)于《1.1 算法與程序框圖（1）》測(cè)試題

　　《1.1 算法與程序框圖（1）》測(cè)試題

關(guān)于《1.1 算法與程序框圖（1）》測(cè)試題

　　一、選擇題

　　1.下列關(guān)于算法的描述正確的是( ).

　　A.算法與求解一個(gè)問(wèn)題的方法相同

　　B.一個(gè)算法只能解決一個(gè)問(wèn)題，不能重復(fù)使用

　　C.算法過(guò)程要一步一步執(zhí)行，每步執(zhí)行的操作必須確切

　　D.解決一類問(wèn)題的算法只有一個(gè)

　　考查目的：考查算法的概念.

　　答案：C.

　　解析：算法通常是指按照一定的規(guī)則解決某一類問(wèn)題的明確的有限的步驟，明確性和有限性是算法的基本特征.解決某一個(gè)問(wèn)題的算法可能不止一個(gè).

　　2.任何程序框圖中都不可缺少的是( ).

　　A.輸入框 B.處理框 C.判斷框 D.起止框

　　考查目的：考查程序框圖的有關(guān)概念.

　　答案：D.

　　解析：程序框圖主要由程序框和流程線組成.基本的程序框有起止框，輸入、輸出框，處理框，判斷框，其中起止框是任何程序框圖中不可缺少的.

　　3.如圖給出了一個(gè)算法程序框圖，該算法程序框圖的功能是( ).

　　A.求三數(shù)中的最大數(shù)

　　B.求三數(shù)中的最小數(shù)

　　C.將按從小到大排列

　　D.將按從大到小排列

　　考查目的：考查對(duì)程序框圖中條件結(jié)構(gòu)的理解.

　　答案：B.

　　解析：通過(guò)框圖可知，該程序框圖的功能是求三個(gè)數(shù)中的最小數(shù).

　　二、填空題

　　4.順序結(jié)構(gòu)是由______________組成的，這是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的基本結(jié)構(gòu)．

　　考查目的：考查順序結(jié)構(gòu)的定義.

　　答案：若干個(gè)依次執(zhí)行的步驟.

　　解析：順序結(jié)構(gòu)的概念.

　　5.求實(shí)數(shù)x的絕對(duì)值的算法程序框圖如圖所示，則判斷框①中可填 .

　　考查目的:考查條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用.

　　答案：x>0(或x>0? 或x≥0 或x≥0?).

　　解析：利用絕對(duì)值的定義及條件結(jié)構(gòu)的表示.

　　6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入，，，則輸出的的值是________.

　　考查目的：考查條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用.

　　答案：68.

　　解析：當(dāng)輸入，，時(shí)，不滿足，因此執(zhí)行：.

　　由于，故執(zhí)行.執(zhí)行后，再執(zhí)行一次后，的值為173－105＝68，此時(shí)不成立，故輸出68.

　　三、解答題：

　　7.如下算法：

　　第一步，輸入的值.

　　第二步，若成立，則.

　　第三步，否則，.

　　第四步，輸出的值.

　　若輸出的值為4，求輸入的值.

　　考查目的：考查分段函數(shù)類型的算法.

　　答案：－2或4.

　　解析：由所給的算法可知，該算法執(zhí)行的功能是給定值，求分段函數(shù)的函數(shù)值.若，則；若，則，

　　8.函數(shù)，寫(xiě)出求該函數(shù)的函數(shù)值的算法，并畫(huà)出程序框圖.

　　考查目的：考查條件結(jié)構(gòu)及分段函數(shù)程序框圖的畫(huà)法.

　　答案：見(jiàn)解析.

　　解析：

　　算法如下：

　　第一步，輸入.

　　第二步，如果，則.

　　如果，則；如果，則.

　　第三步，輸出函數(shù)值.

　　相應(yīng)的程序框圖如下圖.

　　新高三生如何根據(jù)高考真題規(guī)劃復(fù)習(xí)方向

　　新備考開(kāi)始，小編整理高分生經(jīng)驗(yàn)，和各科方向和同學(xué)們分享。

　　出卷閱卷專家給建議

　　2011年的結(jié)束了，考生們正在忙著填報(bào)志愿。但對(duì)于即將升入高三的來(lái)說(shuō)，未來(lái)的一年將決定他們的命運(yùn)。這一年，該如何復(fù)習(xí)？今年的對(duì)這些新高三生有什么啟示？昨天，江蘇省學(xué)會(huì)聯(lián)合智考網(wǎng)邀請(qǐng)2011年出卷和閱卷組的40多名專家，舉辦了一場(chǎng)研討會(huì)，旨在找出今年考生的不足，給新高三生好的復(fù)習(xí)建議。

　　實(shí)例：填空題答得不理想

　　建議：注意基礎(chǔ)的鞏固

　　相對(duì)于去年，2011年的數(shù)學(xué)試卷并不難，平均分也比去年高了近10分。但昨天，一位閱卷專家在研討會(huì)上卻“炮轟”一道數(shù)學(xué)題，這是附加題中的最后一道題，但根據(jù)閱卷的統(tǒng)計(jì)，能做對(duì)的學(xué)生，只有百分之一還不到。

　　“這樣的難度，我覺(jué)得是沒(méi)有必要的。”這位專家說(shuō)，雖然附加題旨在拉開(kāi)成績(jī)的層次，但答對(duì)率如此之低，還是史上少有的，大家都沒(méi)答出來(lái)，層次就不會(huì)拉開(kāi)。

　　而且，這位專家發(fā)現(xiàn)，雖然今年的數(shù)學(xué)卷相對(duì)容易，但在填空題的得分上卻不盡如人意，填空題總分為70分，根據(jù)他們的預(yù)計(jì)，平均得分應(yīng)該在50分以上，但結(jié)果只有46分。這也說(shuō)明，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)并不扎實(shí)。因此，有專家建議，在復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，一定要注意基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，因?yàn)槌鼍砣说囊鈭D，還是考量學(xué)生們的基礎(chǔ)知識(shí)，只是用少部分的題來(lái)拉開(kāi)檔次，如果在復(fù)習(xí)的時(shí)候，一味針對(duì)高難度的題目進(jìn)行訓(xùn)練，是不切實(shí)際的。

　　實(shí)例：半數(shù)考生沒(méi)“挖”在點(diǎn)子上

　　建議：課余要多讀書(shū)多思考

　　“試卷17題，也是一道探究題。”這位專家分析說(shuō)，出卷者給出了魯迅先生的一篇文章《捧與挖》，但通篇魯迅先生只寫(xiě)“捧&rdquo 高中政治;，只在文末的時(shí)候用幾個(gè)字提到了“挖”：“中國(guó)人的自討苦吃的根苗在于捧，自求多福之道卻在于挖”。隨后，17題要求學(xué)生寫(xiě)出“挖”的深意是什么。這位專家說(shuō)，看似簡(jiǎn)單的一道題目，想回答好卻不容易，根據(jù)他們的統(tǒng)計(jì)，只有五成不到的學(xué)生答到了點(diǎn)子上。

　　“這也看出，學(xué)生的發(fā)散性不夠。”一位出卷專家說(shuō)，語(yǔ)文除了基礎(chǔ)知識(shí)之外，考的就是學(xué)生的理解。所以，學(xué)生在課余一定要多讀書(shū)，同時(shí)要多思考。

　　實(shí)例：出了許多平庸

　　建議：作文盡量不要提名人

　　一向是社會(huì)關(guān)注的焦點(diǎn)。今年《拒絕平庸》的作文題，卻出了許多很平庸的作文。

　　“應(yīng)試作文的痕跡太明顯。”一位專家說(shuō)，許多學(xué)生的不夠，一味說(shuō)拒絕平庸，卻沒(méi)有說(shuō)出拒絕了什么方面的平庸。這位專家建議，高考作文盡量不要提名人的名字，一提名人，就知道這位學(xué)生沒(méi)有什么真情實(shí)感，“相比較起來(lái)，記敘文反而得分高。”

　　這些也可以給新高三學(xué)生一些思路，寫(xiě)作文的時(shí)候，該怎么表述自己的感情，打動(dòng)閱卷老師，這才是關(guān)鍵。

　　如何學(xué)好數(shù)學(xué)

　　首先和敏捷對(duì)于來(lái)說(shuō)固然重要，但良好的可以把效果提高幾倍，這是先天因素不可比擬的。學(xué)好首先要過(guò)的是關(guān)。任何事情都有一個(gè)由量變到質(zhì)變的循序漸進(jìn)的積累過(guò)程。

　　一．。不等于瀏覽。要深入了解內(nèi)容，找出重點(diǎn)，難點(diǎn)，疑點(diǎn)，經(jīng)過(guò)思考，標(biāo)出不懂的，有益于抓住重點(diǎn)，還可以培養(yǎng)自學(xué)，有時(shí)間還可以超前學(xué)習(xí)。

　　二．聽(tīng)講。核心在。1。以聽(tīng)為主，兼顧記錄。2。注重過(guò)程，輕結(jié)論。

　　3．有重點(diǎn)。4。提高聽(tīng)課。

　　三．。像演電影一樣把課堂，整理筆記，

　　四．多做練習(xí)。1。晚上吃飯后，坐到書(shū)桌時(shí)，看數(shù)學(xué)最適合，2。做一道數(shù)學(xué)題，每一步都要多問(wèn)個(gè)別為什么，不能只滿足于課堂上的灌輸式傳授和書(shū)本上的簡(jiǎn)單講述，要想提高必須要一步一步推高中歷史，一步一步想，每個(gè)過(guò)程都必不可少，3。不要粗心大意，4。做完每一道題，要想想為什么會(huì)想到這樣做，建立一種條件發(fā)射，關(guān)鍵在于每做一道題要從中得到東西，錯(cuò)在哪，5。解題都有固定的套路。6還有大膽的夸獎(jiǎng)自己，那是樹(shù)立信心的關(guān)鍵時(shí)刻，

　　五．總結(jié)。1。要將所學(xué)的知識(shí)變成知識(shí)網(wǎng)，從大主干到分枝，清晰地深存在腦中，新題想到老題，從而一通百通。2。建立錯(cuò)誤集，錯(cuò)誤多半會(huì)錯(cuò)上兩次，在有意識(shí)改正的情況下，還有可能錯(cuò)下去，最有效的應(yīng)該是會(huì)正確地做這道題，并在下次遇到同樣情況時(shí)候有注意的意識(shí)。3。周末再將一周做的題回頭看一番，提出每道題的思路方法。4有問(wèn)題一定要問(wèn)。

　　六．考前復(fù)習(xí)，1。前2周就要開(kāi)始復(fù)習(xí)，做到心中有數(shù)，否則會(huì)影響發(fā)揮，再做一遍以前的錯(cuò)題是十分必要的，據(jù)說(shuō)有一個(gè)同學(xué)平時(shí)只有一百零幾，離只有一個(gè)月，把以前錯(cuò)題從頭做一遍，最后他數(shù)學(xué)居然得了147分。2。要重視基礎(chǔ)，

　　另外，聽(tīng)老師的話，勤學(xué)苦練不可少，沒(méi)有捷徑，要樂(lè)觀，有毅力，要有決心，還要有耐心，學(xué)數(shù)學(xué)是一個(gè)很長(zhǎng)的過(guò)程，你的努力于回報(bào)往往不能那么盡如人意的成正比，甚至?xí)邢缕侣返内厔?shì)，但只要堅(jiān)持下去，那條成績(jī)線會(huì)抬起頭來(lái)，一定能看到光明。

　　列表也能解決問(wèn)題

　　甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中得了前五名。發(fā)獎(jiǎng)前老師要他們猜一猜各人所得的名次。甲猜：乙第三名，丙第五名；乙猜：戊第四名，丁第五名；丙猜測(cè)：甲第一名，戊第四名；丁猜：丙第一名；戊猜：甲第三名，丁第四名。老師說(shuō)：每個(gè)名次都有人猜對(duì)了。試問(wèn)：獲得第四名的是誰(shuí)？

　　讀完題目，你一定會(huì)感到頭緒太多，無(wú)從下手。為了理出頭緒，讓我們把五位同學(xué)猜測(cè)的結(jié)果用表格列出

　　第一名第二名第三名第四名第五名甲猜乙丙乙猜戊丁丙猜甲戊丁猜丙乙戊猜甲丁

　　這時(shí)，注意到老師所說(shuō)的“每個(gè)名次都有人猜對(duì)。”我們從表格中意外的發(fā)現(xiàn)：只有丁猜的“乙是第二名”這個(gè)結(jié)果是唯一的，立即可知乙一定是第二名。乙是第二名，就不會(huì)是第三名，所以甲一定是第三名。從而，甲不是第一名，則丙一定是第一名。由此又推得，丙不是第五名，丁是第五名。因?yàn)槎〔豢赡苁堑谒拿实谒拿荒苁俏臁?/p>

　　當(dāng)然，列出表格以后，根據(jù)老師所說(shuō)的話，也可以從第四名是戊或丁入手。經(jīng)分析，如果丁是第四名，則將引出矛盾，從而確定只能是戊獲得第四名。

　　再舉一個(gè)例子：

　　某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有10道選擇題。評(píng)分的辦法是：每一道題，答對(duì)得4分，不答得0分，答錯(cuò)得-1分。那么，這次競(jìng)賽至多可能出現(xiàn)多少種成績(jī)。

　　做錯(cuò)題數(shù)

　　做對(duì)題數(shù)

　　012345678910 10-10 9-9-5 8-8-40 7-7-315 6-6-2260 5-5-1371115 4-4048121620 3-315913172125無(wú)無(wú)無(wú) 2-226101418222630無(wú) 1-13711151923273135無(wú) 00481216202428323640

　　解：我們還是根據(jù)題目的條件，列出一個(gè)得分表。

　　從表中立即可以看到，自-10分到-40分的五十一種分?jǐn)?shù)中，不能能出現(xiàn)29、33、34、37、38、39六種分?jǐn)?shù)。因此，這次競(jìng)賽的得分至多可能出現(xiàn)45種不同的成績(jī)。

　　由此可知，有些問(wèn)題，各種量之間關(guān)系復(fù)雜，并列出現(xiàn)的情況多，常會(huì)使你覺(jué)得難以入手。解題時(shí)，如果我們能選用合適的方法（包括畫(huà)圖、列表等），把有關(guān)的數(shù)據(jù)（或相互之間的關(guān)系）整理出來(lái)，則量與量之間的關(guān)系立刻躍然紙上，問(wèn)題也就迎刃而解了。

　　學(xué)好高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法

　　一.培養(yǎng)濃厚的興趣

　　高中的數(shù)學(xué)概念抽象、習(xí)題繁多、教學(xué)密度大，因此，高一過(guò)后，一些同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏。

　　數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)其實(shí)不會(huì)很難，關(guān)鍵是你是否愿意去嘗試。當(dāng)你敢于猜想，說(shuō)明你擁有數(shù)學(xué)的思維能力;而當(dāng)你能驗(yàn)證猜想，則說(shuō)明你已具備了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的天賦!認(rèn)真地學(xué)好高二數(shù)學(xué)，你能領(lǐng)悟到的還有：怎么用最少的材料做滿足要求的物件;如何配置資源并投入生產(chǎn)才能獲得最多利潤(rùn);優(yōu)美的曲線為什么可以和代數(shù)方程建立起關(guān)系;為什么出車(chē)禍比體育彩票中獎(jiǎng)容易得多;為什么一個(gè)年段的各個(gè)班級(jí)常常出現(xiàn)生日相同的同學(xué)……

　　當(dāng)你陷入數(shù)學(xué)魅力的“圈套”后，你已經(jīng)開(kāi)始走上學(xué)好數(shù)學(xué)的第一步!

　　二.學(xué)會(huì)預(yù)習(xí)和聽(tīng)課

　　對(duì)課本上的內(nèi)容，上課之前最好能夠首先預(yù)習(xí)一下，否則上課時(shí)有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)沒(méi)有跟上老師的步驟，下面的就不知所以然了，如此惡性循環(huán)，就會(huì)開(kāi)始厭煩數(shù)學(xué)，對(duì)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)興趣是很重要的。課后針對(duì)性的練習(xí)題一定要認(rèn)真做，不能偷懶，也可以在課后復(fù)習(xí)時(shí)把課堂例題反復(fù)演算幾遍，畢竟上課的時(shí)候，是老師在進(jìn)行題目的演算和講解，學(xué)生在聽(tīng)，這是一個(gè)比較機(jī)械、比較被動(dòng)的接受知識(shí)的過(guò)程。也許你認(rèn)為自己在課堂上聽(tīng)懂了，但實(shí)際上你對(duì)于解題方法的理解還沒(méi)有達(dá)到一個(gè)比較深入的程度，并且非常容易忽視一些真正的解題過(guò)程中必定遇到的難點(diǎn)。“好腦子不如賴筆頭”。對(duì)于數(shù)理化題目的解法，光靠腦子里的大致想法是不夠的，一定要經(jīng)過(guò)周密的筆頭計(jì)算才能夠發(fā)現(xiàn)其中的難點(diǎn)并且掌握化解方法，最終得到正確的計(jì)算結(jié)果。

　　三.及時(shí)復(fù)習(xí)和小結(jié):

　　實(shí)際上無(wú)論你是否完成了入門(mén)，或是已經(jīng)進(jìn)入到了一個(gè)更高的境界，你要做的另外一件事就是學(xué)好基礎(chǔ)知識(shí)。這點(diǎn)最重要。數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)不光包括理解定義，熟記公式，會(huì)基本的公式運(yùn)用，還包括解題步驟、相當(dāng)?shù)慕忸}經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)然還有計(jì)算準(zhǔn)確性。

　　下面逐個(gè)說(shuō)一下：

　　(1)理解定義：理解定義并不是背，有很多定義我也不記得，理解就行，沒(méi)人讓你默寫(xiě)某某東西的定義。

　　(2)熟記公式：這個(gè)不用說(shuō)了吧。

　　(3)會(huì)基本的公式運(yùn)用：不包括靈活運(yùn)用。

　　(4)解題步驟：這也不能輕視，從最已開(kāi)始學(xué)習(xí)時(shí)就要注意。步驟和邏輯性有直接關(guān)系，如果你邏輯性強(qiáng)，那你步驟寫(xiě)的一定不會(huì)太差，反過(guò)來(lái)是否成立我沒(méi)試過(guò)。

　　(5)相當(dāng)?shù)慕忸}經(jīng)驗(yàn)：這個(gè)最重要，但不是死做題。有些題，你不會(huì)，但你做過(guò)，或者做過(guò)類似的，這樣你就能照葫蘆畫(huà)瓢解出來(lái)，從成績(jī)上看這跟你會(huì)是一樣的。很誘人吧。

　　(6)計(jì)算準(zhǔn)確性：馬虎，也算非智力性錯(cuò)誤的一種，這一直都是一個(gè)問(wèn)題。實(shí)際上我也馬虎，馬虎了5年+4年+3年，始終也沒(méi)有解決，高考時(shí)莫名其妙的沒(méi)馬虎。但是像我這樣幸運(yùn)的人實(shí)在是很少，大家不要抱僥幸心理。

　　這些我相信，大家無(wú)論天資如何，一定都能做到，如果你做不到，只等說(shuō)明你學(xué)習(xí)不努力或心態(tài)不正或有其他教育以外的問(wèn)題。

　　要善于總結(jié)歸類，尋找不同的題型、不同的知識(shí)點(diǎn)之間的共性和聯(lián)系，把學(xué)過(guò)的知識(shí)系統(tǒng)化。舉個(gè)具體的例子：高一代數(shù)的函數(shù)部分，我們學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等好幾種不同類型的函數(shù)。但是把它們對(duì)比著總結(jié)一下，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)無(wú)論哪種函數(shù)，我們需要掌握的都是它的表達(dá)式、圖象形狀、奇偶性、增減性和對(duì)稱性。那么你可以將這些函數(shù)的上述內(nèi)容制作在一張大表格中，對(duì)比著進(jìn)行理解和記憶。在解題時(shí)注意函數(shù)表達(dá)式與圖形結(jié)合使用，必定會(huì)收到好得多的效果。

　　最后就是要加強(qiáng)課后練習(xí)，除了作業(yè)之外，找一本好的參考書(shū)，盡量多做一下書(shū)上的練習(xí)題(尤其是綜合題和應(yīng)用題)。熟能生巧，這樣才能鞏固課堂學(xué)習(xí)的效果，使你的解題速度越來(lái)越快。

　　四.學(xué)習(xí)解題

　　我們知道，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要通過(guò)復(fù)習(xí)來(lái)循序漸進(jìn)地提高自己的數(shù)學(xué)能力。有的同學(xué)簡(jiǎn)單地把復(fù)習(xí)理解為做大量的題目，也有的同學(xué)認(rèn)為復(fù)習(xí)就是記憶、背誦課本中的有關(guān)概念、定理、公式等。可見(jiàn)，許多同學(xué)對(duì)復(fù)習(xí)的認(rèn)識(shí)還存在誤區(qū)：沒(méi)有真正認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，在復(fù)習(xí)方法上沒(méi)有和其他學(xué)科區(qū)別開(kāi)來(lái)。

　　數(shù)學(xué)是應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題。搞題海戰(zhàn)術(shù)的方式、方法固然是不對(duì)的，但離開(kāi)解題來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)同樣也是錯(cuò)誤的。其中的關(guān)鍵在于對(duì)待題目的態(tài)度和處理解題的方式上。

　　——首先是精選題目，做到少而精。只有解決質(zhì)量高的、有代表性的題目才能達(dá)到事半功倍的效果。然而絕大多數(shù)的同學(xué)還沒(méi)有辨別、分析題目好壞的能力，這就需要在老師的指導(dǎo)下來(lái)選擇復(fù)習(xí)的練習(xí)題，以了解高考題的形式、難度。

　　——其次是分析題目。解答任何一個(gè)數(shù)學(xué)題目之前，都要先進(jìn)行分析。相對(duì)于比較難的題目，分析更顯得尤為重要。我們知道，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題實(shí)際上就是在題目的已知條件和待求結(jié)論中架起聯(lián)系的橋梁，也就是在分析題目中已知與待求之間差異的基礎(chǔ)上，化歸和消除這些差異。當(dāng)然在這個(gè)過(guò)程中也反映出對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度、理解程度和數(shù)學(xué)方法的靈活應(yīng)用能力。例如，許多三角方面的題目都是把角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)形式統(tǒng)一后就可以解決問(wèn)題了，而選擇怎樣的三角公式也是成敗的關(guān)鍵。

　　——最后，題目總結(jié)。解題不是目的，我們是通過(guò)解題來(lái)檢驗(yàn)我們的學(xué)習(xí)效果，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)中的不足的，以便改進(jìn)和提高。因此，解題后的總結(jié)至關(guān)重要，這正是我們學(xué)習(xí)的大好機(jī)會(huì)。對(duì)于一道完成的題目，有以下幾個(gè)方面需要總結(jié)：

　　①在知識(shí)方面，題目中涉及哪些概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識(shí)，在解題過(guò)程中是如何應(yīng)用這些知識(shí)的。

　　②在方法方面：如何入手的，用到了哪些解題方法、技巧，自己是否能夠熟練掌握和應(yīng)用。

　　③能不能把解題過(guò)程概括、歸納成幾個(gè)步驟(比如用數(shù)學(xué)歸納法證明題目就有很明顯的三個(gè)步驟)。

　　④能不能歸納出題目的類型，進(jìn)而掌握這類題目的解題通法(我們反對(duì)老師把現(xiàn)成的題目類型給學(xué)生，讓學(xué)生拿著題目套類型，但我們鼓勵(lì)學(xué)生自己總結(jié)、歸納題目類型)。

　　五.強(qiáng)化運(yùn)算能力

　　古印度人和阿拉伯人在數(shù)字、零和代數(shù)方面的成就

　　印度在亞洲的南部。春天到來(lái)的時(shí)候，北邊喜馬拉雅山上的積雪開(kāi)始融化，聚集成五條急流，匯總流入印度河。很早以前，在富饒的印度河谷地就出現(xiàn)了上古的居民達(dá)羅毗托人，世界最古老的文化之一就發(fā)源在這里。

　　在一些方面，達(dá)羅毗托人的文化比埃及和蘇馬連文化高。他們有自己的獨(dú)特的文字，有十進(jìn)制的算法。大約公元前兩千年的時(shí)候，印度人就已經(jīng)使用51個(gè)字母組成的文字，數(shù)學(xué)在印度曾被認(rèn)為最重要的科學(xué)之一。和許多古老的民族一樣，它的頭一批數(shù)學(xué)家也是僧侶。

　　直到兩千年前，印度人還使用由橫劃組成的數(shù)字。后來(lái)，他們開(kāi)始用干棕櫚葉做寫(xiě)字的材料，并且發(fā)展了草體書(shū)法，于是由一到九的各不相同的數(shù)字符號(hào)就這樣日趨成形了。古印度人也用美索不達(dá)米亞商人的算盤(pán)來(lái)進(jìn)行計(jì)算，每個(gè)數(shù)字符號(hào)都能很方便地表示算盤(pán)上任何一行的石子數(shù)。

　　印度人新的數(shù)字符號(hào)要是到此為止不再發(fā)展，那意思就不大了。事實(shí)上，ZZ只能表示在任意兩行溝里的兩個(gè)石子，它可以是22，也可以是202、2020等等。這就是說(shuō)，人們不僅要知道溝里有幾個(gè)石子，還要知道它們各在那一行里。

　　不知什么時(shí)候什么人，在前人智慧和成就的基礎(chǔ)上，總結(jié)出了這樣一個(gè)辦法：用最右面的數(shù)字表示個(gè)位行里的石子數(shù)，左面相鄰的數(shù)字表示十位行里的石子數(shù)。其它則以此類推，用點(diǎn)表示空行。這樣，ZZ就只表示22，Z.Z．就只表示2020，而沒(méi)有其它的意思了。表示空位的“.”，后來(lái)改用“0”代替。

　　有了這個(gè)記數(shù)法，人們就可以用同一個(gè)符號(hào)記錄算盤(pán)上任何一行上的同一個(gè)數(shù)字，簡(jiǎn)單清楚，書(shū)寫(xiě)方便。印度記數(shù)法的最大優(yōu)點(diǎn)是能用數(shù)字來(lái)進(jìn)行計(jì)算，這是一個(gè)了不起的進(jìn)步！

　　我們知道，古老的書(shū)寫(xiě)系統(tǒng)，包括埃及的、巴比倫的、希臘的、羅馬的都是用不同的符號(hào)來(lái)表示算盤(pán)上不同行里的相同的石子數(shù)，不像我們今天可以用同一個(gè)“1”，在不同的數(shù)位上表示一、十和一百。因此每一位行都得用不同的加法表相乘法表，用它們做筆算或心算是很麻煩的。如果只有九個(gè)不同的符號(hào)，其中每一個(gè)都可以表示任何一行的石子數(shù)，零表示空行，那每一行上的計(jì)算就都是一樣的了。這樣，人們只要掌握一個(gè)表就行了，好懂、好背、好用。

　　我國(guó)古代計(jì)算是用算籌。算籌為了避免相鄰兩位數(shù)碼混淆，采用了縱橫相間的辦法，而是每一行的加法表和乘法表，一直都是一樣的。

　　印度人創(chuàng)造的這套數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的非常寶貴的貢獻(xiàn)！它很快就引起了計(jì)算藝術(shù)的革命。

　　印度數(shù)學(xué)家還研究了分?jǐn)?shù)，并且能象我們今天這樣書(shū)寫(xiě)它們。到公元五百年，伏拉罕密希拉能通過(guò)計(jì)算，預(yù)告行星的位置；阿耶波多論述了確定平方根的法則，給出了圓周率的近似值為3.1416。

　　公元七世紀(jì)初期，伊斯蘭教的'創(chuàng)始人穆罕默德統(tǒng)一了整個(gè)阿拉伯地區(qū)。他死后的三百多年間，他的門(mén)徒帶著這種新教，往西經(jīng)過(guò)整個(gè)北非，進(jìn)入西班牙和葡萄牙；往東越過(guò)印度河進(jìn)入了亞洲的廣大地區(qū)。

　　大約在762年，穆斯林們建立了帝國(guó)首都巴格達(dá)城。四十年后，它成為世界著名的學(xué)術(shù)中心，就象希臘和羅馬時(shí)期的亞歷山大城一樣。

　　在公元八百年到九百年這一個(gè)世紀(jì)里，東西方的知識(shí)在巴格達(dá)得到了交流。東方來(lái)的商人和數(shù)學(xué)家?guī)?lái)了新的數(shù)字符號(hào)，印度算術(shù)和中國(guó)的算學(xué)成就；從西方選出來(lái)的異教徒帶來(lái)了亞歷山大強(qiáng)盛時(shí)期的科學(xué)著作，其中包括天文學(xué)和地理學(xué)的論文，還有歐幾里得幾何學(xué)。穆斯林學(xué)者把這些著作譯成了阿拉伯文。

　　穆斯林的天文學(xué)家發(fā)展的制圖學(xué)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了亞歷山大時(shí)期的水平。在巴格達(dá)的學(xué)校里，三角學(xué)盛行起來(lái)。由于掌握了印度的新算術(shù)，穆斯林?jǐn)?shù)學(xué)家能更為完滿地研究和應(yīng)用歐幾里得和阿基米得的幾何學(xué)成就。航海家裝備和改進(jìn)了航海設(shè)備；地理學(xué)家也有了新的更好的大地測(cè)量工具。穆斯林世界的科學(xué)技術(shù)，取得了很高的成就。

　　公元一千年，古羅馬帝國(guó)的大部分地區(qū)被置于穆斯林的統(tǒng)治之下。在西班牙的穆斯林大學(xué)里，學(xué)生們可以學(xué)習(xí)希臘幾何學(xué)、印度算術(shù)、天文學(xué)、三角學(xué)和地理學(xué)，而這些科學(xué)，巴格達(dá)學(xué)者都作了很大的改進(jìn)。

　　從十二世紀(jì)開(kāi)始，穆斯林世界的科學(xué)知識(shí)逐漸傳到歐洲各地。到了公元一千四百年，意大利、法國(guó)、德國(guó)和英國(guó)的商人們開(kāi)始使用新數(shù)字，教授新算術(shù)的學(xué)校開(kāi)始在整個(gè)歐洲興起。半個(gè)世紀(jì)后，漸漸有了印刷術(shù)。算術(shù)教科書(shū)和航海歷是主要的印刷品。

　　新數(shù)字從一個(gè)地方傳到另一個(gè)地方，常常一方面變形走樣，一方面又保持著九個(gè)符號(hào)和一個(gè)零的樣式。但是，如此先進(jìn)的數(shù)字也并不是一開(kāi)始就能在所有地方被接受的。十三世紀(jì)時(shí)，一項(xiàng)法令禁止佛羅論薩的銀行業(yè)者使用新數(shù)字。一百年后，意大利的派丟厄大學(xué)還堅(jiān)持書(shū)籍的價(jià)格表必須用羅馬數(shù)字。直到十五世紀(jì)末，印度數(shù)字才在西歐的航海和商業(yè)中普遍使用。幾個(gè)世紀(jì)后，雖然還有人堅(jiān)持用算盤(pán)和計(jì)算板上的計(jì)算方法，但是越來(lái)越多的人熱衷于學(xué)習(xí)新算術(shù)了。

　　在早期印刷出版的教科書(shū)中，不少列表和解決加減乘除問(wèn)題的簡(jiǎn)便方法，現(xiàn)在雖然已經(jīng)成為博物館里的東西了，但是這些教科書(shū)把新的簡(jiǎn)寫(xiě)符號(hào)，比如“十、—”等引進(jìn)算術(shù)中卻是十分重要的，盡管這些符號(hào)最早很可能是表示包裹超重和缺重用的，不是數(shù)學(xué)上的有意的發(fā)明。由于這些符號(hào)顯示了作用，隨后，另一些符號(hào)“×、÷、∴、＝”，也逐漸被引了進(jìn)來(lái)。

　　對(duì)于我們現(xiàn)在用代數(shù)求解的某些問(wèn)題，印度和穆斯林的數(shù)學(xué)家也早就發(fā)現(xiàn)了解它們的妙法，“代數(shù)”一詞就是阿拉伯語(yǔ)。但是穆斯林?jǐn)?shù)學(xué)家那時(shí)講授的代數(shù)和我們現(xiàn)在學(xué)的代數(shù)是不一樣的。他們的代數(shù)式都是文字寫(xiě)的，唯一的簡(jiǎn)寫(xiě)的符號(hào)是表示平方根的符號(hào)。

　　代數(shù)學(xué)大約到十七世紀(jì)初才逐漸形成。下面我們來(lái)作一個(gè)簡(jiǎn)單的題目，看看代數(shù)學(xué)是怎樣變化發(fā)展的：題目：一個(gè)數(shù)，乘以2，除以3，等于40，問(wèn)這個(gè)數(shù)是多少? 印度和穆斯林的數(shù)學(xué)家是這樣解的：因?yàn)檫@個(gè)數(shù)的三分之二是四十，它的三分之一就是四十的一半，即二十；又因?yàn)檫@個(gè)數(shù)是二十的三倍，得這個(gè)數(shù)是六十。引進(jìn)一些數(shù)學(xué)符號(hào)以后，早期的算法是這樣來(lái)求解的：(2×某數(shù))/3＝40，某數(shù)/3＝1/2×40＝20，某數(shù)＝3×20＝60。

　　我們現(xiàn)在的代數(shù)，以字母n代替了“某數(shù)”，并且省去了乘號(hào)“×”。解法如下： 2n/3＝40，n/3＝20，n＝60。

　　公元一千二百年的穆斯林教師肯定能給出解這類問(wèn)題的法則，但是語(yǔ)句勢(shì)必冗長(zhǎng)繁瑣：如果你已經(jīng)知道一個(gè)數(shù)，乘以第二個(gè)數(shù)，再除以第三個(gè)數(shù)，結(jié)果為已知的話，那么你就可以把這個(gè)結(jié)果乘以第三個(gè)數(shù)，再被第二個(gè)數(shù)來(lái)除，把原數(shù)求出來(lái)。

　　現(xiàn)在，我們可以用n表示任意數(shù)，s表示第二數(shù)，t表示第三數(shù)，a表示得數(shù)，如果sn/t＝a，那n＝ta/s。寫(xiě)成這樣的形式，法則就一目了然，清楚好記了。

　　檢票問(wèn)題

　　旅客在車(chē)站候車(chē)室等候檢票高中語(yǔ)文，并且排隊(duì)的旅客按照一定的速度在增加，檢票速度一定，當(dāng)車(chē)站開(kāi)放一個(gè)檢票口，需用半小時(shí)可將待檢旅客全部檢票進(jìn)站；同時(shí)開(kāi)放兩個(gè)檢票口，只需十分鐘便可將旅客全部進(jìn)站，現(xiàn)有一班增開(kāi)列車(chē)過(guò)境載客，必須在5分鐘內(nèi)旅客全部檢票進(jìn)站，問(wèn)此車(chē)站至少要同時(shí)開(kāi)放幾個(gè)檢票口？

　　分析：

　　（1）本題是一個(gè)貼近實(shí)際的應(yīng)用題，給出的數(shù)量關(guān)系具有一定的隱蔽性。仔細(xì)閱讀后發(fā)現(xiàn)涉及到的量為：原排隊(duì)人數(shù)，旅客按一定速度增加的人數(shù)，每個(gè)檢票口檢票的速度等。

　　（2）給分析出的量一個(gè)代表符號(hào)：設(shè)檢票開(kāi)始時(shí)等候檢票的旅客人數(shù)為x人，排隊(duì)隊(duì)伍每分鐘增加y人，每個(gè)檢票口每分鐘檢票z人，最少同時(shí)開(kāi)n個(gè)檢票口，就可在5分鐘旅客全部進(jìn)站。

　　（3）把本質(zhì)的內(nèi)容翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言：

　　開(kāi)放一個(gè)檢票口，需半小時(shí)檢完，則x+3y=z

　　開(kāi)放兩個(gè)檢票口，需10分鐘檢完，則x+10y=2×10z

　　開(kāi)放n個(gè)檢票口，最多需5分鐘檢完，則x+5y≤n×5z

　　可解得x=15z,y=0.5z

　　將以上兩式帶入得 n≥3.5z ,∴n=4.

　　答：需同時(shí)開(kāi)放4個(gè)檢票口。

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