華杯賽初賽試題

　　1．“華羅庚金杯”少年數學邀請賽每隔一年舉行一次．今年(1988年)是第二屆．問2000年是第幾屆？

　　２．一個充氣的救生圈（如右圖）．虛線所示的大圓，半徑是33厘米．實線所示的小圓，半徑是9厘米．有兩只螞蟻同時從A點出發，以同樣的速度分別沿大圓和小圓爬行．問：小圓上的螞蟻爬了幾圈后，第一次碰上大圓上的螞蟻？

　　3．如右圖是一個跳棋棋盤，請你算算棋盤上共有多少個棋孔？

　　4．有一個四位整數．在它的某位數字前面加上一個小數點，再和這個四位數相加，得數是2000.81．求這個四位數．

　　5．如圖是一塊黑白格子布．白色大正方形的邊長是14厘米，白色小正方形的邊長是6 厘米．問：這塊布中白色的面積占總面積的百分之幾？

　　6．如下圖是兩個三位數相減的算式，每個方框代表一個數字．問：這六個方框中的數字的連乘積等于多少？

　　7．如右圖中正方形的邊長是2米，四個圓的半徑都是1米，圓心分別是正方形的四個頂點．問：這個正方形和四個圓蓋住的面積是多少平方米？

　　8．有七根竹竿排成一行．第一根竹竿長1米，其余每根的長都是前一根的一半．問：這七根竹竿的總長是幾米？

　　9．有三條線段A、B、C，a長2.12米，b長2.71米，c長3.53米，以它們作為上底、下底和高，可以作出三個不同的梯形．問：第幾個梯形的面積最大(如下圖)？

　　10．有一個電子鐘，每走9分鐘亮一次燈，每到整點響一次鈴．中午12點整，電子鐘響鈴又亮燈．問：下一次既響鈴又亮燈是幾點鐘？

　　11．一副撲克牌有四種花色，每種花色有13張，從中任意抽牌．問:最少要抽多少張牌，才能保證有4張牌是同一花色?

　　12．有一個班的同學去劃船．他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好每條船坐9人．問：這個班共有多少同學？

　　13． 四個小動物換座位．一開始，小鼠坐在第1號位子，小猴坐在第2號，小兔坐在第3號，小貓坐在第4號．以后它們不停地交換位子．第一次上下兩排交換．第二次 是在第一次交換后再左右兩排交換．第三次再上下兩排交換．第四次再左右兩排交換??這樣一直換下去．問：第十次交換位子后，小兔坐在第幾號位子上？（參看 下圖）

　　14．用1、9、8、8這四個數字能排成幾個被11除余8的四位數？

　　15．如下圖是一個圍棋盤，它由橫豎各19條線組成．問：圍棋盤上有多少個右圖中的小正方形一樣的正方形？

　　參考答案

　　1.第八屆  2．11  3．121  4．1981  5．58%  6．0  7．13.42  8．

　　9．第三個  10．3點鐘  11．13  12．36人  13．第十次交換座位后，小兔坐在第2號位子

　　14．能排成4個被11除余8的數  15．100個

　　1．【解】“每隔一年舉行一次”的意思是每兩年舉行1次。1988年到2000年還有2000－1988＝12年，因此還要舉行12÷2＝6屆。1988年是第二屆，所以2000年是1＋6＝8屆。 這題目因為數字不大，直接數也能很快數出來：1988、1990、1992、1994、1996、1998、2000年分別是第二、三、四、五、六、七、八屆．

　　答：2000年舉行第八屆．

　　【注】實際上，第三屆在1991年舉行的，所以2001年是第八屆.

　　2．【解】由于兩只螞蟻的速度相同，所以大、小圓上的螞蟻爬一圈的時間的比應該等于圈長的比．而圈長的比又等于半徑的比，即：33∶9．

　　要問兩只螞蟻第一次相遇時小圓上的螞蟻爬了幾圈，就是要找一個最小的時間它是大、小圓上螞蟻各自爬行一圈所需時間的整數倍．適當地選取時間單位，使小圓上的螞蟻爬一圈用

　　9個單位的時間，而大圓上的螞蟻爬一圈用33個單位的時間．這樣一來，問題就化為求9和33的最小公倍數的問題了．不難算出9和33的最小公倍數是99，所以答案為99÷9=11． 答：小圓上的螞蟻爬了11圈后，再次碰到大圓上的螞蟻．

　　3. 【解】把棋盤分割成一個平行四邊形和四個小三角形，如下圖。平行四邊形中棋孔數為9×9＝81，每個小三角形中有10個棋孔。所以棋孔的總數是81＋10×4＝121(個) 答：共有121個棋孔

　　4．【解】由于得數有兩位小數，小數點不可能加在個位數之前．如果小數點加在十位數之前，所得的數是原來四位數的百分之一，再加上原來的四位數，得數2000.81應該是原來四位數的1.01倍，原來的四位數是2000.81÷1.01＝1981．

　　類似地，如果小數點加在百位數之前，得數2000.81應是原來四位數的1.001倍，小數點加在千位數之前，得數2000.81應是原來四位數的1.0001倍．但是（2000.81÷1.001）和（2000．81÷1.0001）都不是整數，所以只有1981是唯一可能的答案．

　　答：這個四位數是1981．

　　【又解】注意到在原來的四位數中，一定會按順序出現8，1兩個數字．小數點不可能加在個位數之前；也不可能加在千位數之前，否則原四位數只能是8100，大于2000.81了．  無論小數點加在十位數還是百位數之前，所得的數都大于1而小于100．這個數加上原來的.四位數等于2000.81，所以原來的四位數一定比2000小，但比1900大，這說明它的前兩個數字必然是1，9．由于它還有8，1兩個連續的數字，所以只能是1981．

　　5．【解】格子布的面積是下圖面積的9倍，格子布白色部分的面積也是圖上白色面積的9倍，下圖中白色部分所占面積的百分比是：

　　＝0.58＝58％

　　答：格子布中白色部分的面積是總面積的58％

　　.

　　6．【解】因為差的首位是8，所以被減數首位是9，減數的首位是1。第二位上兩數的差是9，所以被減數的第二位是9，減數的第二位是0。于是這六個方框中的數字的連乘積等于0。 答：六個方框中的數字的連乘積等于0．

　　7．【解】每個圓和正方形的公共部分是一個扇形，它的面積是圓的面積的四分之一.因此，整個圖形的面積等于正方形的面積加上四塊四分之三個圓的面積.而四塊四分之三個圓的面積等于圓面積的三倍.于是整個圖形的面積等于正方形的面積加上圓面積的三倍．也就是2×2＋π×1×1×3≈13.42(平方米)

　　答：這個正方形和四個圓蓋住的面積約是13.42平方米．

　　8．【解】(米). 答：七根竹竿的總長是米．

　　【又解】我們這樣考慮：取一根2米長的竹竿，把它從中截成兩半，各長1米．取其中一根作為第一根竹竿．將另外一根從中截成兩半，取其中之一作為第二根竹竿．如此進行下去，

　　到截下第七根竹竿時，所剩下的一段竹竿長為：（米），因此，七根竹竿的總長度是2米減去剩下一段的長，也就是 答：七根竹竿的總長是米．

　　9．【解】梯形的面積＝(上底＋下底)×高－2．但我們現在是比較三個梯形面積的大小，所以不妨把它們的面積都乘以2，這樣只須比較(上底＋下底)×高的大小就行了.我們用乘法分配律：

　　第一個梯形的面積的2倍是：(2.12＋3.53)×2.71＝2.12×2.7I＋3.53×2.71， 第二個梯形的面積的2倍是：(2.7l＋3.53)×2.12＝2.71×2.12＋3.53×2.12， 第三個梯形的面積的2倍是：(2.12＋2.71)×3.53＝2.12×3.53＋2.7I×3.53

　　先比較第一個和第二個兩個式子右邊的第一個加數，一個是2.12×2.71，

　　另一個是2.71×2.12由乘法交換律，這兩個積相等因此只須比較第二個加數的大小就行了，顯然3.53×2.71比3.53×2.12大，因為2.71比2.12大因此第一個梯形比第二個梯形的面積大.類似地，如果比較第一個和第三個，我們發現它們右邊第二個加數相等．而第一個加數2.12×2.71＜2.12×3.53.因此第三個梯形比第一個梯形面積大.綜上所述，第三個梯形面積最大.

　　答：第三個梯形面積最大．

　　10．【解】因為電子鐘每到整點響鈴，所以我們只要考慮哪個整點亮燈就行了．從中午12點起，每9分鐘亮一次燈，要過多少個9分鐘才到整點呢？由于1小時＝60分鐘，這個問題換句話說就是：9分鐘的多少倍是60分鐘的整數倍呢？即求9分和60最小公倍數．9和60的最小公倍數是180．這就是說，從正午起過180分鐘，也就是3小時，電子鐘會再次既響鈴又亮燈．

　　答：下一次既響鈴又亮燈時是下午3點鐘．

　　11．【解】每種花色各選3張，一共12張，可見抽12張牌不能保證有4張牌是同一花色的. 如果抽13張牌，由于花色只有4種，其中必有一種多于3張，即必有4張牌同一花色. 答：至少要抽13張牌，才能保證有四張牌是同一花色的.

　　12．【解】先增加一條船，那么正好每條船坐6人.然后去掉兩條船，就會余下6×2＝12名同學，改為每條船9人，也就是說，每條船增加9－6＝3人,正好可以把余下的12名同學全部安排上去，所以現在還有12÷3＝4條船，而全班同學的人數是9×4＝36人

　　【又解】由題目的條件可知，全班同學人數既是6的倍數，又是9的倍數，因而是6和9的公倍數．6和9的最小公倍數是18．如果總數是18人，那么每船坐6人需要有18÷6＝3條船，而每船坐9人需要18÷9＝2條船，就是說，每船坐6人比每船坐9人要多一條船．但由題目的條件，每船坐6人比每船坐9人要多用2條船．可見總人數應該是18×2＝36． 答：這個班共有36個人

　　13．【解】根據題意將小兔座位變化的規律找出來．

　　可以看出：每一次交換座位，小兔的座位按順時針方向轉動一格，每4次交換座位，小兔的座位又轉回原處．知道了這個規律，答案就不難得到了．第十次交換座位后，小兔的座位應該是第2號位子．

　　答：第十次交換座位后，小兔坐在第2號位子．

　　14．【解】用1、9、8、8可排成12個四位數，即1988，1898，1889，9188，9818，9881，8198，8189，8918，8981，8819，8891

　　它們減去8變為1980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973，8811，8883

　　其中被11整除的僅有1980，1881，8910，8811，即用1、9、8、8可排成4個被1除余8的四位數，即1988，1889，8918，8819.

　　【又解】什么樣的數能被11整除呢？一個判定法則是：比較奇位數字之和與偶位數字之和，如果它們之差能被11除盡，那么所給的數就能被11整除，否則就不能夠．

　　現在要求被11除余8，我們可以這樣考慮：這樣的數加上3后，就能被11整除了．所以我們得到“一個數被11除余8”的判定法則：將偶位數字相加得一個和數，再將奇位數字相加再加上3，得另一個和數，如果這兩個和數之差能被11除盡，那么這個數是被11除余8的數；否則就不是．

　　要把1、9、8、8排成一個被11除余8的四位數，可以把這4個數分成兩組，每組2個數字．其中一組作為千位和十位數，它們的和記作A；另外一組作為百位和個位數，它們之和加上3記作B．我們要適當分組，使得能被11整除．現在只有下面4種分組法：

　　經過驗證，第（1）種分組法滿足前面的要求：A＝1＋8，B＝9＋8＋3＝20，B－A＝11能被11除盡．但其余三種分組都不滿足要求．

　　根據判定法則還可以知道，如果一個數被11除余8，那么在奇位的任意兩個數字互換，或者在偶位的任意兩個數字互換，得到的新數被11除也余8．于是，上面第（1）分組中，1和8中任一個可以作為千位數，9和8中任一個可以作為百位數．這樣共有4種可能的排法：1988，1889，8918，8819．

　　答：能排成4個被11除余8的數

　　15．【解】我們先在右圖小正方形中找一個代表點，例如右下角的點E作為代表點．然后將小正方形按題意放在圍棋盤上，仔細觀察點E應在什么地方．通過觀察，不難發現：

　　（1）點E只能在棋盤右下角的正方形ABCD（包括邊界）的格子點上．

　　（2）反過來，右下角正方形ABCD中的每一個格子點都可以作為小正方形的點E，也只能作為一個小正方形的點E．這樣一來，就將“小正方形的個數”化為“正方形ABCD中的格子點個數”了．很容易看出正方形ABCD中的格子點為10×10＝100個．

　　答：共有100個。

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