《3.3 幾何概型》測試題部分
一、選擇題
1.(2011福建文)如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內部的概率等于( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查幾何概型的意義及其概率計算.
答案：C.
解析：所求概率為，故答案選C.
2.(2012遼寧理)在長為12cm的線段AB上任取一點C．現作一矩形，其邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32的概率為( ).
A. B. C. D.
考查目的：考查函數模型的應用、不等式的解法、幾何概型的計算，以及分析問題的能力.
答案：C.
解析：設線段AC的長為cm，則線段CB的長為cm，矩形的面積為，由解得或.又∵，∴該矩形面積小于32的概率為，故選C.
3.(2012北京理)設不等式組表示的平面區域為D.在區域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是 ( ).
A. B. C. D.
考查目的：不等式組表示平面區域以及幾何概型的計算.
答案：D.
解析：題目中表示的區域表示正方形區域，而動點D可以存在的位置為正方形面積減去四分之一的圓的面積部分，因此，故選D.
二、填空題
4.(2010湖南文)在區間[-1，2]上隨機取一個數，則的概率為 .
考查目的：考查與長度有關的幾何概型問題的概率計算.
答案：.
解析：區間[0，1]的兩端點之間長度是1，區間[-1，2]的長度是3，故的概率是.
5.已知下圖所示的矩形，其長為12，寬為5.在矩形內隨機地撒1 000顆黃豆，數得落在陰影部分的黃豆數為550顆，則可以估計出陰影部分的面積約為 .
考查目的：了解隨機數的概念，與面積有關的幾何概型概率問題.
答案：33.
解析：設陰影部分的面積為S，由條件知矩形面積為60，則，解得.
6.將一條5米長的繩子隨機地切斷成兩條，事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件，事件T發生的概率 .
考查目的：考查隨機事件是否為幾何概型的判斷.
答案：.
解析：類似于古典概型，先找到基本事件組，既找到其中每一個基本事件.注意到每一個基本事件都與唯一一個斷點一一對應，故基本事件組中的基本事件就與線段上的.點一一對應，若把離繩首尾兩端距離為1的點記作M、N，則顯然事件T所對應的基本事件所對應的點在線段MN上.由于在古典概型中事件T的概率為T包含的基本事件個數/總的基本事件個數，但這兩個數字(T包含的基本事件個數、總的基本事件個數)是無法找到的，所以用線段MN的長除以線段AB的長表示事件T的概率，即.
三、解答題
7.如圖，在單位圓O的某一直徑上隨機的取一點Q，求過點Q且與該直徑垂直的弦長長度不超過1的概率．
考查目的：考查幾何概型問題的概率計算，以及對立事件概率計算等.
答案：.
解析：弦長不超過1，即，而Q點在直徑AB上是隨機的，事件.由幾何概型的概率公式得.
∴弦長不超過1的概率為.
8.甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率.
考查目的：考查將實際問題轉化為幾何概型概率問題解決的能力.
答案：.
解析：以軸和軸分別表示甲、乙兩人到達約定地點的時間，則兩人能夠會面滿足的條件是.在如圖所示平面直角坐標系下，(，)的所有可能結果是邊長為60的正方形區域，而事件A“兩人能夠會面”的可能結果由圖中的陰影部分表示.由幾何概型的概率公式得.
高中數學知識點：雙曲線方程知識點總結
雙曲線方程
1. 雙曲線的第一定義：
⑴①雙曲線標準方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦點在x軸上：
頂點： 焦點： 準線方程 漸近線方程：或
ii. 焦點在軸上：頂點：. 焦點：. 準線方程：. 漸近線方程：或，參數方程：或 .
②軸為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. ③離心率. ④準線距(兩準線的距離);通徑. ⑤參數關系. ⑥焦點半徑公式：對于雙曲線方程(分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點)
“長加短減”原則：
構成滿足(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號)
⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.
⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.
⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.
例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程?
解：令雙曲線的方程為：，代入得.
⑹直線與雙曲線的位置關系：
區域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條;
區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條;
區域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條;
區域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條;
區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.
小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.
(2)若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.
⑺若P在雙曲線，則常用結論1：P到焦點的距離為m = n，則P到兩準線的距離比為m?n.
簡證： =,高中英語.
常用結論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.
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