高一指數函數課件

　　指數函數是數學中重要的函數。應用到值 x 上的這個函數寫為 exp（x）。還可以等價的寫為 ex，整理了高一數學指數函數的課件。歡迎借鑒！

　　Ⅰ．教學內容解析

　　本節課的教學內容，是指數函數的概念、性質及其簡單應用．教學重點是指數函數的圖像與性質．

　　指數函數是學生在學習了函數的概念、圖象與性質后，學習的第一個新的初等函數．它是一種新的函數模型，也是應用研究函數的一般方法研究函數的一次實踐．指數函數的學習，一方面可以進一步深化對函數概念的理解，另一方面也為研究對數函數、冪函數、三角函數等初等函數打下基礎．因此，本節課的學習起著承上啟下的作用，也是學生體驗數學思想與方法應用的過程．

　　指數函數模型在貸款利率的計算以及考古中年代的測算等方面有著廣泛地應用，與我們的日常生活、生產和科學研究有著緊密的聯系，因此，學習這部分知識還有著一定的現實意義．

　　Ⅱ．教學目標設置

　　1。學生能從具體實例中概括指數函數典型特征，并用數學符號表示，建構指數函數的概念．

　　2。學生通過自主探究，掌握指數函數的圖象特征與性質，能夠利用指數函數的性質比較兩個冪的大小．

　　3。學生運用數形結合的思想，經歷從特殊到一般、具體到抽象的研究過程，體驗研究函數的一般方法．

　　4。在探究活動中，學生通過獨立思考和合作交流，發展思維，養成良好思維習慣，提升自主學習能力．

　　Ⅲ．學生學情分析

　　授課班級學生為南京師大附中實驗班學生．

　　1。學生已有認知基礎

　　學生已經學習了函數的概念、圖象與性質，對函數有了初步的認識．學生已經完成了指數取值范圍的擴充，具備了進行指數運算的能力．學生已有研究一次函數、二次函數等初等函數的直接經驗．學生數學基礎與思維能力較好，初步養成了獨立思考、合作交流、反思質疑等學習習慣．

　　2。達成目標所需要的認知基礎

　　學生需要對研究的目標、方法和途徑有初步的認識，需要具備較好的歸納、猜想和推理能力．

　　3。難點及突破策略

　　難點：

　　1。 對研究函數的一般方法的認識．

　　2。 自主選擇底數不當導致歸納所得結論片面．

　　突破策略：

　　1。教師引導學生先明確研究的內容與方法，從總體上認識研究的目標與手段．

　　2。組織匯報交流活動，展現思維過程，相互評價，相互啟發，促進反思．

　　3。對猜想進行適當地證明或說明，合情推理與演繹推理相結合．

　　Ⅳ．教學策略設計

　　根據學生已有學習基礎，為提升學生的學習能力，本節課的教學，采用自主學習方式．通過教師引領學生經歷研究函數及其性質的過程，認識研究的目標與策略，在研究的過程中逐漸完善研究的方法與手段．

　　學生的自主學習，具體落實在三個環節：

　　（1）建構指數函數概念時，學生自主舉例，歸納特征，并用符號表示，討論底數的取值范圍，完善概念．

　　（2）探究指數函數圖象特征與性質時，學生自選底數，開展自主研究，并通過匯報交流相互提升．

　　（3）性質應用階段，學生自主舉例說明指數函數性質的應用．

　　研究函數的性質，可以從形和數兩個方面展開．從圖形直觀和數量關系兩個方面，經歷從特殊到一般、具體到抽象的過程。借助具體的指數函數的圖象，觀察特征，發現函數性質，進而猜想、歸納一般指數函數的圖象特征與性質，并適時應用函數解析式輔以必要的說明和證明．

　　Ⅴ．教學過程設計

　　1。 創設情境  建構概念

　　師：我們已經學習了函數的概念、圖象與性質，大家都知道函數可以刻畫兩個變量之間的關系．你能用函數的觀點分析下面的例子嗎？

　　師：大家知道細胞分裂的規律嗎？（出示情境問題）

　　[情境問題1] 某細胞分裂時，由一個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……如果細胞分裂x次，相應的細胞個數為y，如何描述這兩個變量的關系？

　　[情境問題2] 某種放射性物質不斷變化為其他物質，每經過一年，這種物質剩余的質量是原來的84%．如果經過x年，該物質剩余的質量為y，如何描述這兩個變量的關系？

　　[師生活動]引導學生分析，找到兩個變量之間的函數關系，并得到解析式y=2x和y=0。84x．

　　師：這樣的函數你見過嗎？是一次函數嗎？二次函數？這樣的函數有什么特點？你能再舉幾個例子嗎？

　　〖問題1〗類似的函數，你能再舉出一些例子嗎？這些函數有什么共同特點？能否寫成一般形式？

　　[設計意圖]通過列舉生活中指數函數的具體例子，感受指數函數與實際生活的聯系．引導學生從具體實例中概括典型特征，初步形成指數函數的概念，并用數學符號表示．初步得到y=ax這個形式后，引導學生關注底數的取值范圍，完成概念建構．指數范圍擴充到實數后，關注x∈R時，y=ax是否始終有意義，因此規定a＞0．a≠1并不是必須的，常函數在高等數學里是基本函數，也有重要的意義．為了使指數函數與對數函數能構成反函數，規定a≠1．此處不需對此解釋，只要補充說“1的任何次方總是1，所以通常還規定a≠1”．

　　[師生活動]學生舉例，教師引導學生觀察，其共同特點是自變量在指數位置，從而初步建立函數模型y=ax．

　　[教學預設]學生能舉出具體的例子——y=3x，y=0。5x…．如出現y=（—2）x最好，更便于引發對a的討論，但一般不會出現．進而提出這類函數一般形式y=ax．

　　方案1：

　　生：（舉例）函數y=3x，y=4x，…（函數y=ax（a＞1））

　　師：板書學生舉例（稍停頓），能舉一個不太一樣的例子嗎？（提示：底數非得大于1嗎？）

　　生：函數y=0。5x，y= x，y=（—2）x，y=1x…

　　師：板書學生舉例（停頓），好像有不同意見．

　　生：底數不能取負數．

　　師：為什么？

　　生：如果底數取負數或0，x就不能取任意實數了．

　　師：我們已經將指數的取值范圍擴充到了R，我們希望這些函數的定義域就是R．

　　（若沒有學生注意到底數的取值范圍，可引導學生關注例舉函數的定義域．若有同學提出情境中函數的定義域應為N+，師：我們已經將指數的取值范圍擴充到了R，函數y=2x和y=0。84x中，能否將定義域擴充為R？你們所舉的例子中，定義域是否為R？）

　　師：這些函數有什么共同特點？

　　生：都有指數運算．底數是常數，自變量在指數位置．

　　（若有學生舉出類似y=max的例子，引導學生觀察，它依然具有自變量在指數位置的特征．而刻畫這一特點的最簡單形式就是y=ax，從而初步建立函數模型y=ax，初步體會基本初等函數的作用．）

　　師：具備上述特征的函數能否寫成一般形式？

　　生：可以寫成y=ax（a＞0）．

　　師：當a=1時，函數就是常數函數y=1．對于這個函數，我們已經比較了解了．通常我們還規定a≠1．今天我們就來了解一下這個新函數．（出示指數函數定義）

　　方案2：

　　生：（舉例）函數y=3x，y=4x，…（函數y=ax（a＞1））

　　師：板書學生舉例（稍停頓），能舉一個不太一樣的例子嗎？（提示：底數非得大于1嗎？）

　　生：函數y=0。5x，y= x，…

　　師：這些函數的自變量是什么？它們有什么共同特點？

　　生：（可用文字語言或符號語言概括）都有指數運算．底數是常數，自變量在指數位置．可以寫成y=ax．

　　師：y=ax中，自變量是x，底數a是常數．以上例子的不同之處，是底數不同．那你覺得底數的取值范圍是什么呢？

　　生：底數不能取負數．

　　師：為什么？

　　生：如果底數取負數或0，x就不能取任意實數了．

　　師：為了研究的方便，我們要求底數a＞0．當a=1時，函數就是常數函數y=1．對于這個函數，我們已經比較了解了．通常我們還規定a≠1．今天我們就來了解一下這個新函數．（出示指數函數定義）

　　[階段小結]一般地，函數y=ax（a＞0且a≠1）稱為指數函數．它的定義域是R．

　　[意圖分析]概念教學應當讓學生感受形成過程，了解知識的來龍去脈，那種直接拋出定義后輔以“三項注意”的做法剝奪了學生參與概念形成的過程．此處不宜糾纏于y=22x是否為指數函數等細枝末節．指數函數的基本特征是自變量出現在指數上，應促使學生對概念本質的理解．指數函數概念的形成，經歷了一個由粗到細，由特殊到一般，由具體到抽象的漸進過程，這樣更加符合人們的認知心理．

　　2。 實驗探索  匯報交流

　　（1）構建研究方法

　　師：我們定義了一個新的函數，接下來，我們研究什么呢？

　　生：研究函數的性質．

　　〖問題2〗你打算如何研究指數函數的性質？

　　[設計意圖]學生已經學習了函數的概念、函數的表示方法與函數的一般性質，對函數有了初步的認識．在此認知基礎上，引導學生自己提出所要研究的問題，尋找研究問題的方法．開始的問題較寬泛，教師要縮小問題范圍，用提示語口頭提問啟發．教師應充分尊重學生的思維個性，提供自主探究的平臺，通過匯報交流活動達成共識實現殊途同歸．中學階段，特別是高一新授課階段，提倡學生以形象思維作為抽象思維的支撐．

　　[師生活動]師生經過討論，解決啟發性提示問題，確定研究的內容與方法．

　　[教學預設]學生能夠根據已有知識和經驗，在教師的啟發引導下，明確研究的內容以及研究的方法．部分學生會提出先作出具體函數圖象，觀察圖象，概括性質，并進而歸納出一般函數的圖象的分布特征等性質．另一部分學生可能從具體函數的解析式出發，研究函數性質，猜想一般函數的性質，然后再作出圖象加以驗證．

　　師：（稍等片刻）我們一般要研究哪些性質呢？

　　生：變量取值范圍（定義域、值域）、單調性、奇偶性．

　　師：（板書學生回答）怎樣研究這些性質呢？

　　生：先畫出函數圖象，觀察圖象，分析函數性質．

　　生：先研究幾個具體的指數函數，再研究一般情況．

　　師：板書“畫圖觀察”，“取特殊值”

　　（若沒有學生提出從特殊到一般的思路．師：底數a的取值不同，函數的性質可能也會有不同．一次函數y=kx（k≠0）中，一次項系數k不同，函數性質就不同．底數a可以取無數多個值，那我們怎么辦呢？）

　　（若有學生通過對y=2x解析式的分析，得到了性質，并提出從具體函數的解析式出發，研究函數性質，猜想一般函數的性質，然后再作出圖象加以驗證．師：你的想法也很有道理，不妨試一試．（仍引導學生從具體指數函數圖象入手．））

　　[意圖分析]學習的過程就是一個不斷地提出問題、解決問題的'過程．提出問題比解決問題更重要，給學生提供由自己提出問題、確定研究方法的機會，逐漸學會研究問題，促進能力發展．

　　（2）自主探究  匯報交流

　　師：我們確定了要研究的對象和具體做法，下面可以開始研究指數函數的性質了．

　　〖問題3〗選取數據，畫出圖象，觀察特點，歸納性質．

　　[設計意圖]若直接規定底數取值，對于為什么要以y=2x，y=3x，y=0。5x為例，為什么要根據底數的大小分類討論，缺乏合理的解釋，學生對于圖象的認識是被動的．若在探究前經討論確定底數取值，由于學生認知水平的差異，仍可能會造成部分學生被動接受．學生自主選擇底數，雖有得到片面認識的可能，但通過討論交流，學生能相互驗證結論，仍能得到正確認識．并且學生能在過程中體會數據如何選擇，了解研究方法．

　　由于描點作圖時列舉點的個數的限制，學生對x→∞時函數圖象特征缺乏直觀感受．而且由于所舉例子個數的限制，學生對于歸納的結論缺乏一般性的認識．教師應利用繪圖軟件作出底數連續變化的圖象 ，驗證猜想．

　　數形結合、從特殊到一般的思維方法是概括歸納抽象對象的一般思維方法，本節課的重點是通過對指數函數圖象性質的研究，總結研究函數的一般方法，應充分發動學生參與研究的每個過程，得到直接體驗．

　　[師生活動]學生選取不同的a的值，作出圖象，觀察它們之間的異同，總結指數函數的圖象特征與函數性質．

　　[教學預設]學生通過觀察圖象，發現指數函數y=ax（a＞0且a≠1）的性質．教師用實物投影儀展示學生所畫圖象，學生根據具體函數圖象說明具體函數性質．在學生說明過程中，教師引導學生對結論進行適當的說明，進而引導學生歸納一般指數函數的性質．教師引導學生關注列表描點作圖的過程，引導學生通過反思過程，并通過動態圖象驗證猜想，促進學生體會數形結合的分析方法．教師尊重生成，但需引導學生區別指數函數本身的性質與指數函數之間的性質．其中⑥⑦不強加于學生．對于⑥，要引導學生在同一坐標系中畫出圖象，啟發學生觀察底數互為倒數的指數函數的圖象，先得到具體的例子．對于⑦，在例1第3小題中，會有學生提出利用不同底數指數函數圖象解決，可順勢利導，也可布置為課后作業，繼續研究．

　　生：自主選擇數據，在坐標紙上列表作圖，列出函數性質．

　　師：（巡視，必要時參與討論，及時提示任務，待大部分學生有結論后，鼓勵學生交流，請學生匯報．）有條理地整理一下結論，討論交流所得．（同時用實物投影儀展示學生所畫圖象．若沒有投影儀，用幾何畫板作出圖象．）

　　生：（可能出現的情況）（1）在兩個坐標系中畫圖；（2）所取底數均大于1；（3）兩個底數大于1，一個底數小于1；（4）關于y軸對稱的兩個指數函數．

　　師：（過程性引導）底數你是怎么取的？你是怎樣觀察出結論的？在列表過程中，你有什么發現嗎？為什么要在兩個坐標系中畫圖？為什么不也取兩個底數小于1？

　　師：（用彩筆描粗圖象，故意出錯）錯在哪里？為什么？

　　生：指數函數是單調遞增的，過定點（0， 1）．

　　師：（引導學生規范表述，并板書）指數函數在（—∞， +∞）上單調遞增，圖象過定點（0， 1）．

　　師：指數函數還有其它性質嗎？

　　生：圖象始終在x軸上方．（若學生畫圖有誤，可相互點評，掌握圖象特征．）

　　師：也就是說值域為（0， +∞）．

　　生：指數函數是非奇非偶函數．

　　師：有不同意見嗎？

　　生：當0＜a＜1時，指數函數在（—∞， +∞）上單調遞減．

　　（其它預設：

　　（1）當a＞1時，若x＞0，則y＞1；若x＜0，則y＜1。

　　當0＜a＜1時，若x＞0，則y＜1；若x＜0，則y＞1。

　　（2）學生畫出y=2x和y=3x圖象，得出函數遞增速度的差異．

　　（3）畫出y=2x和y=0。5x圖象，得到底數互為倒數的指數函數圖象關于y軸對稱．）

　　師：（板書學生交流結果，整理成表格．注意區分“函數性質”與“函數之間的關系”．若有學生試圖說明結論的合理性，可提供機會．）大家認為底數a＞1或0＜a＜1時，指數函數圖象與性質有差異．那么是不是只有這兩種情況呢？（用幾何畫板作出底數連續變化的函數圖象，驗證這一結論．）我們利用圖象對歸納的性質進行了驗證，如果你想說明或證明上述結論，課后可以試一試．）

　　[階段小結] 指數函數y=ax（a＞0且a≠1）具有以下性質：

　　①定義域為R．

　　②值域為（0， +∞）．

　　③圖象過定點（0， 1）．

　　④非奇非偶函數．

　　⑤當a＞1時，函數y=ax在（—∞， +∞）上單調遞增；

　　當0＜a＜1時，函數y=ax在（—∞， +∞）上單調遞減．

　　⑥函數y=ax與y=（）x （a＞0且a≠1）圖象關于y軸對稱．

　　⑦指數函數y=ax與y=bx（a＞b）的圖象有如下關系：

　　x∈（—∞， 0）時，y=ax圖象在y=bx圖象下方；

　　x=0時，兩圖象相交；

　　x∈（0，+∞）時，y=ax圖象在y=bx圖象上方．

　　[意圖分析]通過探究活動，使學生獲得對指數函數圖象的直觀認識．學生觀察圖象，是對圖形語言的理解；根據圖象描述性質，是將圖形語言轉化為符號或文字語言．對函數的理解，是建立在三種語言相互轉化的基礎上的．在交流匯報過程中，一方面要通過對探究較深入學生的具體研究過程的剖析，總結提升學習方法，優化學習策略；另一方面要關注部分探究意識與能力都薄弱的學生的表現，鼓勵他們大膽發言，激勵他們主動參與活動，讓全體學生成為真正的學習主體．自主探究活動能充分激發學生的相互學習能力，能有效幫助學生突破難點．

　　3。 新知運用  鞏固深化

　　（方案一）（分析函數性質的用途）

　　師：現在我們了解了指數函數的定義和性質，它們有什么用處呢？

　　師：函數的定義域是函數的基礎，是運用性質的前提．值域是研究函數最值的前提．具備奇偶性的函數，可以利用對稱性簡化研究．指數函數過定點（0， 1），說明可以將常數1轉化為指數式，即1=20=30=…那么函數單調性有什么用呢？

　　生：可以求最值，可以比較兩個函數值的大小．

　　師：那你能舉出運用指數函數單調性比大小的例子嗎？（提示：既然是運用指數函數單調性，那應該有指數式．）

　　生：（舉例并判斷大小．）

　　師：你考察了哪個指數函數？怎么想到的？（規范表述）

　　師：以往我們計算出冪的值來比大小，現在我們指數函數的單調性，不用計算就可以比較兩個冪的大小．（出示例1）

　　（方案二）

　　師：現在我們了解了指數函數的定義和性質，它們有什么用處呢？

　　師：（口述并板書）你能比較32與33的大小嗎？

　　生：直接計算比較．

　　師：那比較30。2與30。3的大小呢？能不能不計算呢？

　　生：利用函數y=3x的單調性．

　　師：能具體說明嗎？（引導學生規范表達）我們再試一試．

　　（出示例1）

　　【例1】比較下列各組數中兩個值的大小：

　　①1。52。5，1。53。2；②0。5？？？？？？＿1。2，0。5？？？？？？＿1。5；③1。50。3，0。81。2．

　　[設計意圖] 引導學生運用指數函數性質．對于 32與33的大小比較，學生更可能計算出冪的值直接比較．變式后，學生可能作差或作商比較，轉化為比較30。1與1的大小，進而運用指數函數單調性，也可能直接運用單調性．初步運用新知解決問題，注重題意理解，擴大知識遷移，感悟解題方法，達到對新知鞏固記憶，加深理解．

　　[師生活動]學生板演，教師組織學生點評．

　　[教學預設] ①②兩題，學生能運用指數函數單調性解決．②題學生可能得到錯誤答案，教師可組織相互點評，規范表達，正確運用性質．③學生可能運用不同方法，應給予充分的時間，并在具體問題解決后引導學生總結一般方法．

　　師：（引導學生規范表達）你考察了哪個指數函數？根據函數的什么性質？

　　師：（對③的引導）你考慮利用哪個函數？是y=1。5x還是y=0。8x？這兩個函數有什么關聯？（引導學生畫出圖象，從形上提示：圖象有什么關聯？）

　　生：它們都過點（0， 1）．

　　師：也就是說，可以將1轉化為指數形式，即1=1。50=0。80．那接下來呢？

　　生：比較1。50。3，0。81。2和1的大小．

　　師：我們找到了一個比大小的中間量．以往我們計算出冪的值來比大小，現在我們指數函數的單調性，不用計算就可以比較兩個冪的大小．

　　【例2】

　　①已知3x≥30。5，求實數x的取值范圍；

　　②已知0。2x<25，求實數x的取值范圍．

　　[設計意圖]指數函數單調性的逆用，同時考查指數函數的定義域．

　　4。 概括知識  總結方法

　　〖問題4〗本節課我們學習了哪些知識？你還學會了哪些方法？

　　[設計意圖] 回顧所學內容，深化認知．開放式小結，不同學生有不同的收獲．

　　[師生活動]學生發言總結，交流所得．

　　[教學預設]

　　通過本節課對指數函數圖象和性質的研究，我們獲得了以下知識和方法：

　　①指數函數的定義與性質；

　　②研究函數的一般方法和步驟．

　　師：本節課我們學習了什么知識？

　　生：指數函數的定義和性質．

　　師：回顧我們的研究過程，我們是怎樣研究指數函數的？

　　生：先確定研究的內容：定義域、值域、單調性、奇偶性和其它性質．

　　生：然后從幾個具體的指數函數開始，畫出圖象，列出性質，最后得到一般情況．

　　師：這是一種從特殊到一般的研究方法．研究指數函數的方法，也是研究函數的一般方法，今后我們還會運用這樣的方法研究新的函數．

　　[意圖分析]課堂總結不是對所學知識的簡單回顧，應讓學生在知識、方法和策略上多層次地整理，促進學生理解所用學習方法的合理性與普遍性，使學生獲得知識與能力的共同進步．

　　5。 分層作業，因材施教

　　（1）感受理解：課本第54頁，習題2。2（2）：1，2，3，4；

　　（2）思考運用：運用今天的研究方法，你還能得到指數函數的其它性質嗎？

　　[設計意圖]分層布置作業，“感受理解”面向全體學生，旨在掌握指數函數的圖象與性質．“思考運用”提供學生運用函數研究的一般方法自主研究的機會．

　　Ⅵ．教后反思回顧

　　一、對于指數函數概念的認識

　　指數函數是一種函數模型，其基本特征是自變量在指數位置．底數取值范圍有規定，使得這一模型形式簡單又不失本質．不必糾結于“y＝22x是否為指數函數”，把重點放在概念的合理性的理解以及體會模型思想．

　　二、對于培養學生思維習慣的考慮

　　在學生自主探索的過程中，教師應注意培養學生良好的思維習慣．實際上，選擇底數a的數據的大小和數量，需要對指數函數的性質有預判；從列表到作圖的過程中，都可以感受到指數函數單調性等性質；觀察并歸納性質，既需要特殊到一般的推理模式，也應養成有序進行觀察和歸納的良好的思維習慣．對所歸納的指數函數的性質，應根據學生已有的知識水平或教學要求進行證明或合理的說明．學生不僅學到了數學知識，也初步體驗了研究問題的基本方法．

　　三、關于設計定位的反思

　　本節課的教學設計，力圖體現因材施教原則。不同的學情下，教師應采用不同的教學策略．如果學生基礎相對薄弱，問題的提出可以分層次進行。另外，注意通過“你是怎么想的？”“你同意他的意見嗎？為什么”等問話形式，促使學生暴露思維過程．

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