兩圓的公切線教案

　　作為一名無私奉獻(xiàn)的老師，就有可能用到教案，借助教案可以讓教學(xué)工作更科學(xué)化�？靵韰⒖冀贪甘窃趺磳懙陌�！下面是小編為大家收集的兩圓的公切線教案，歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。

兩圓的公切線教案1

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　（1）理解兩圓相切長等有關(guān)概念，掌握兩圓外公切線長的求法；

　�。�2）培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力；

　�。�3）通過兩圓外公切線長的求法向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想．

　　教學(xué)重點：

　　理解兩圓相切長等有關(guān)概念，兩圓外公切線的求法．

　　教學(xué)難點：

　　兩圓外公切線和兩圓外公切線長學(xué)生理解的不透，容易混淆．

　　教學(xué)活動設(shè)計

　　（一）實際問題（引入）

　　很多機器上的傳動帶與主動輪、從動輪之間的位置關(guān)系，給我們以一條直線和兩個同時相切的形象．（這里是一種簡單的數(shù)學(xué)建模，了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生與實踐）

　　（二）兩圓的公切線概念

　　1、概念：

　　教師引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)．給出兩圓的外公切線、內(nèi)公切線以及公切線長的定義：

　　和兩圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線．

　　(1)外公切線：兩個圓在公切線的同旁時，這樣的公切線叫做外公切線．

　　(2)內(nèi)公切線：兩個圓在公切線的兩旁時，這樣的公切線叫做內(nèi)公切線．

　　(3)公切線的長：公切線上兩個切點的距離叫做公切線的長．

　　2、理解概念：

　　(1)公切線的長與切線的長有何區(qū)別與聯(lián)系?

　　(2)公切線的長與公切線又有何區(qū)別與聯(lián)系?

　　(1)公切線的長與切線的`長的概念有類似的地方，即都是線段的長．但公切線的長是對兩個圓來說的，且這條線段是以兩切點為端點；切線長是對一個圓來說的，且這條線段的一個端點是切點，另一個端點是圓外一點．

　　(2)公切線是直線，而公切線的長是兩切點問線段的長，前者不能度量，后者可以度量．

　　（三）兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系

　　組織學(xué)生觀察、概念、概括，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力．添寫教材p143練習(xí)第2題表．

　�。ㄋ模�應(yīng)用、反思、總結(jié)

　　例1、已知：⊙o1、⊙o2的半徑分別為2cm和7cm，圓心距o1o2=13cm，ab是⊙o1、⊙o2的外公切線，切點分別是a、b．求：公切線的長ab．

　　分析：首先想到切線性質(zhì)，故連結(jié)o1a、o2b，得直角梯形ao1o2b．一般要把它分解成一個直角三角形和一個矩形，再用其性質(zhì)．（組織學(xué)生分析，教師點撥，規(guī)范步驟）

　　解：連結(jié)o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab．

　　過 o1作o1c⊥o2b，垂足為c，則四邊形o1abc為矩形，

　　于是有

　　o1c⊥c o2，o1c=ab，o1a=cb．

　　在rt△o2co1和．

　　o1o2=13，o2c=o2b- o1a=5

　　ab=o1c= (cm)．

　　反思：（1）“轉(zhuǎn)化”思想，構(gòu)造三角形；（2）初步掌握添加輔助線的方法．

　　例2、如圖，已知⊙o1、⊙o2外切于p，直線ab為兩圓的公切線，a、b為切點，若pa=8cm，pb=6cm，求切線ab的長．

　　分析：因為線段ab是△apb的一條邊，在△apb中，已知pa和pb的長，只需先證明△pab是直角三角形，然后再根據(jù)勾股定理，使問題得解．證△pab是直角三角形，只需證△apb中有一個角是90°(或證得有兩角的和是90°)，這就需要溝通角的關(guān)系，故過p作兩圓的公切線cd如圖，因為ab是兩圓的公切線，所以∠cpb=∠abp，∠cpa=∠bap．因為∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°，所以2∠cpa+2∠cpb=180°，所以∠cpa+∠cpb=90°，即∠apb=90°，故△apb是直角三角形，此題得解．

　　解：過點p作兩圓的公切線cd

　　∵ ab是⊙o1和⊙o2的切線，a、b為切點

　　∴∠cpa=∠bap ∠cpb=∠abp

　　又∵∠bap+∠cpa+∠cpb+∠abp=180°

　　∴ 2∠cpa+2∠cpb=180°

　　∴∠cpa+∠cpb=90° 即∠apb=90°

　　在 rt△apb中，ab2=ap2+bp2

　　說明：兩圓相切時，常過切點作兩圓的公切線，溝通兩圓中的角的關(guān)系．

　�。ㄎ澹╈柟叹毩�(xí)

　　1、當(dāng)兩圓外離時，外公切線、圓心距、兩半徑之差一定組成( )

　　(a)直角三角形 (b)等腰三角形 (c)等邊三角形 (d)以上答案都不對．

　　此題考察外公切線與外公切線長之間的差別，答案(d)

　　2、外公切線是指

　　(a)和兩圓都祖切的直線 (b)兩切點間的距離

　　(c)兩圓在公切線兩旁時的公切線 (d)兩圓在公切線同旁時的公切線

　　直接運用外公切線的定義判斷．答案：(d)

　　3、教材p141練習(xí)（略）

　�。�六）小結(jié)（組織學(xué)生進(jìn)行）

　　知識：兩圓的公切線、外公切線、內(nèi)公切線及公切線的長概念；

　　能力：歸納、概括能力和求外公切線長的能力；

　　思想：“轉(zhuǎn)化”思想．

　�。ㄆ撸┳鳂I(yè)：p151習(xí)題10，11．

兩圓的公切線教案2

　　教學(xué)目標(biāo)：

　　1、使學(xué)生學(xué)會兩圓內(nèi)公切線長的求法．

　　2．使學(xué)生會求出公切線與連心線的夾角或公切線的夾角．

　　2、使學(xué)生在學(xué)會求兩圓內(nèi)公切線長的過程中，探索規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)、歸納能力．

　　3、培養(yǎng)學(xué)生會根據(jù)圖形分析問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力．

　　教學(xué)重點：使學(xué)生進(jìn)一步掌握兩圓公切線等有關(guān)概念，會求兩圓內(nèi)公切線長及切線夾角．

　　教學(xué)難點：兩圓內(nèi)公切線和內(nèi)公切線長容易搞混．

　　教學(xué)過程：

　　一、新課引入：

　　上一節(jié)我們學(xué)會了求兩圓的外公切線長，這一節(jié)我們將學(xué)習(xí)兩圓內(nèi)公切線長的求法及兩圓公切線夾角的求法．實際上，我們首先要清楚，什么樣的兩圓的位置關(guān)系存在兩圓內(nèi)公切線？有幾條？什么樣的兩圓位置關(guān)系有內(nèi)公切線長？請同學(xué)們打開練習(xí)本，動手畫一畫，結(jié)合圖形，考慮上面的問題．學(xué)生動手畫圖，教師巡視，當(dāng)所有學(xué)生都畫完圖后，教師打開計算機或幻燈作演示，演示過程由學(xué)生回答上述三個問題，并認(rèn)定只有兩圓外離時，存在內(nèi)公切線長．

　　二、新課講解：

　　有了上一節(jié)求兩圓外公切線長的基礎(chǔ)，學(xué)生不難想到求兩圓的內(nèi)公切線長也要在一個直角三角形中完成，只要稍加提示，學(xué)生便會作出直角三角形，同時教師要提醒學(xué)生注意兩種公切線長的求法中，三角形的邊有所不同．例2如圖7—106，p．142已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為4cm和2cm，圓心距為10cm，ab是⊙o1、⊙o2的內(nèi)公切線，切點分別為a、b．

　　求：公切線的長ab．分析：仿照上節(jié)的輔助線方法作輔助線，我們會發(fā)現(xiàn)，不論從o1或o2向另一條半徑作垂線，垂足都落在半徑的延長線上，因此o2c是兩圓半徑之和．例題解法參照教材p．142例2．

　　結(jié)論：由于圓是軸對稱圖形，1．兩圓的兩條外公切線長相等，兩條內(nèi)公切線長相等．2．如果兩圓有兩條外（或內(nèi)）公切線，并且它們相交，那么交點一定在連心線上．

　　練習(xí)一，如圖7—107，已知⊙o1、⊙o2的半徑分別為1。5cm和2。5cm，o1o2=6cm．求內(nèi)公切線的長．此題分析類同于例題．

　　解：連結(jié)o2a、o1b，過點o2作o2c⊥o1b交o1b的延長線于c．在rt△o2co1中：∵o1o2=6，o1c=o1b+bc=4，結(jié)論：在由公切線長、圓心距、兩圓半徑的和或差構(gòu)成的rt△中，已知任意兩量，都可以求出第三量來，同時，我們也可以求出所需角來．

　　例3 p．143要做一個如圖7—108．那樣的v形架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為20mm和80mm，求v形角α的度數(shù)．

　　分析：首先指導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為兩圓外公切線問題，v形角α實際上就是求兩圓公切線的夾角．由矩形、外公切線的基本圖形知，矩形abo2c的邊o2c∥ab，則rt△o1co2中的.銳角∠co2o1=∠

　　解：設(shè)兩圓管的圓心分別為o1、o2，它們與v形架切于點a、b，ab與o1o2交于點p，連結(jié)o1a，o2b，過點o2作o2c⊥o1a，垂足為c．∴∠co2o1=25°23′．∴∠α=50°46′

　　練習(xí)二，p．145中1．如圖7—109，⊙a、⊙b外切于點c，它們的半徑分別為5cm，2cm，直線l與⊙a、⊙b都相切．求直線ab與l所成的角．

　　分析：這是兩圓外公切線與兩圓連心線夾角問題，屬于兩圓外公切線的基本圖形，只要在rt△adb中求出∠abd的度數(shù)即可．

　　解：設(shè)l與⊙a、⊙b分別切于點m、n，連結(jié)am、bn，過點b作bd⊥am，垂足為d．∴∠abd=25°23′．∴∠1=25°23′．

　　答：直線ab與l所成的角為25°23′．

　　三、課堂小結(jié)：

　　為培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材的習(xí)慣，讓學(xué)生看教材p．142—p．145，從中總結(jié)出本課主要內(nèi)容：

　　1．求兩圓的內(nèi)公切線，仍然歸結(jié)為解直角三角形問題，注意基本圖形中的直角三角形，圓心距仍然為斜邊，內(nèi)公切線長、兩半徑之和作直角邊，三個量中已知任何兩個量，都可以求出第三個量來．

　　2．如果兩圓有兩條外（或內(nèi)）公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上．

　　3．求兩圓兩外（或內(nèi)）公切線的夾角．要根據(jù)基本圖形，歸結(jié)為求rt△中的銳角．從而根據(jù)平行線的同位角相等，進(jìn)而求出兩公切線的夾角．

　　四、布置作業(yè)教材p．153中12、13、14．

兩圓的公切線教案3

　　教學(xué)目標(biāo)：

　�。�1）掌握兩圓內(nèi)公切線長的求法以及公切線與連心線的夾角或公切線的交角；

　�。�2）培養(yǎng)的遷移能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的歸納、總結(jié)能力；

　　（3）通過兩圓內(nèi)公切線長的求法進(jìn)一步向?qū)W生滲透“轉(zhuǎn)化”思想。

　　教學(xué)重點：

　　兩圓內(nèi)公切線的長及公切線與連心線的夾角或公切線的交角求法。

　　教學(xué)難點：

　　兩圓內(nèi)公切線和兩圓內(nèi)公切線長學(xué)生理解的不透，容易混淆。

　　教學(xué)活動設(shè)計

　�。ㄒ唬�復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識

　　（1）兩圓的公切線概念：公切線、內(nèi)外公切線、內(nèi)外公切線的長。

　　（2）兩圓的位置與公切線條數(shù)的關(guān)系。（構(gòu)成數(shù)形對應(yīng)，且一一對應(yīng)）

　�。ǘ�）應(yīng)用、反思

　　例1、（教材例2）已知：⊙o1和⊙o2的半徑分別為4厘米和2厘米，圓心距為10厘米，ab是⊙o1和⊙o2的一條內(nèi)公切線，切點分別是a，b。

　　求：公切線的長ab。

　　組織學(xué)生分析，遷移外公切線長的求法，既培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，同時也培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的遷移能力。

　　解：連結(jié)o1a、o2b，作o1a⊥ab，o2b⊥ab。

　　過o1作o1c⊥o2b，交o2b的延長線于c，

　　則o1c=ab，o1a=bc。

　　在rt△o2co1和。

　　o1o2=10，o2c=o2b+ o1a=6

　　∴o1c=(cm)。

　　∴ab=8（cm）

　　反思：與外離兩圓的內(nèi)公切線有關(guān)的計算問題，常構(gòu)造如此題的`直角梯行及直角三角形，在rt△o2co1中，含有內(nèi)公切線長、圓心距、兩半徑和重要數(shù)量。注意用解直角三角形的知識和幾何知識綜合去解構(gòu)造后的直角三角形。

　　例2（教材例3）要做一個圖那樣的礦型架，將兩個鋼管托起，已知鋼管的外徑分別為200毫米和80毫米，求v形角α的度數(shù)。

　　解：(略)

　　反思：實際問題經(jīng)過抽象、化簡轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識來解決，這是解決實際問題的重要方法。它屬于簡單的數(shù)學(xué)建模。組織學(xué)生進(jìn)行，教師引導(dǎo)。

　　歸納：

　　（1）用解直角三角形的有關(guān)知識可得：當(dāng)公切線長l、兩圓的兩半徑和r+r、圓心距d、兩圓公切線的夾角α四個量中已知兩個量時，就可以求出其他兩個量。

　�。�2）上述問題可以通過相似三角形和解三角形的知識解決。

　�。ㄈ�）鞏固訓(xùn)練

　　教材p142練習(xí)第1題，教材p145練習(xí)第1題。學(xué)生獨立完成，教師巡視，發(fā)現(xiàn)問題及時糾正。

　�。ㄋ模┬〗Y(jié)

　�。�1）求兩圓的內(nèi)公切線，“轉(zhuǎn)化”為解直角三角形問題。公切線長、圓心距、兩半徑和三個量中已知任何兩個量，都可以求第三個量；

　　（2）如果兩圓有兩條外(或內(nèi))公切線，并且它們相交，那么交點一定在兩圓的連心線上；

　　（3）求兩圓兩外(或內(nèi))公切線的夾角。

　�。ㄎ澹┳鳂I(yè)

　　教材p153中12、13、14。

兩圓的公切線教案4

　　教學(xué)目標(biāo)：

　�。�1）理解兩圓公切線在解決有關(guān)兩圓相切的問題中的作用，輔助線規(guī)律，并會應(yīng)用；

　�。�2）通過兩圓公切線在證明題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。

　　教學(xué)重點：

　　會在證明兩圓相切問題時，輔助線的引法規(guī)律，并能應(yīng)用于幾何題證明中。

　　教學(xué)難點：

　　綜合知識的靈活應(yīng)用和綜合能力培養(yǎng)。

　　教學(xué)活動設(shè)計

　�。ㄒ唬�復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識

　�。�1）兩圓的公切線概念。

　　（2）切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)概念。

　　（二）公切線在解題中的應(yīng)用

　　例1、如圖，⊙o1和⊙o2外切于點a，bc是⊙o1和⊙o2的公切線，b，c為切點。若連結(jié)ab、ac會構(gòu)成一個怎樣的三角形呢？

　　觀察、度量實驗（組織學(xué)生進(jìn)行）

　　猜想：（學(xué)生猜想）∠bac=90°

　　證明：過點a作⊙o1和⊙o2的內(nèi)切線交bc于點o。

　　∵oa、ob是⊙o1的切線，

　　∴oa=ob。

　　同理oa=oc。

　　∴ oa=ob=oc。

　　∴∠bac=90°。

　　反思：（1）公切線是解決問題的橋梁，綜合應(yīng)用知識是解決問題的關(guān)鍵；

　�。�2）作兩圓的公切線是常見的一種作輔助線的方法。

　　例2、己知：如圖，⊙o1和⊙o2內(nèi)切于p，大圓的弦ab交小圓于c，d。

　　求證：∠apc＝∠bpd。

　　分析：從條件來想，兩圓內(nèi)切，可能作出的輔助線是作連心線o1o2，或作外公切線。

　　證明：過p點作兩圓的公切線mn。

　　∵∠mpc=∠pdc，∠mpn=∠b，

　　∴∠mpc－∠mpn=∠pdc－∠b，

　　即∠apc＝∠bpd。

　　反思：

　　（1）作了兩圓公切線mn后，弦切角就把兩個圓中的圓周角聯(lián)系起來了。要重視mn的“橋梁”作用。

　�。�2）此例證角相等的方法是利用已知角的關(guān)系計算。

　　拓展：（組織學(xué)生研究，培養(yǎng)學(xué)生深入研究問題的意識）

　　己知：如圖，⊙o1和⊙o2內(nèi)切于p，大圓⊙o1的弦ab與小圓⊙o2相切于c點。

　　是否有：∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb。

　　答案：有∠apc＝∠bpc即pc平分∠apb。如圖作輔助線，證明方法步驟參看典型例題中例4。

　�。ㄈ�）練習(xí)

　　練習(xí)1、教材145練習(xí)第2題。

　　練習(xí)2、如圖，已知兩圓內(nèi)切于p，大圓的弦ab切小圓于c，大圓的弦pd過c點。

　　求證：pa·pb=pd·pc。

　　證明：過點p作兩圓的公切線ef

　　∵ ab是小圓的切線，c為切點

　　∴∠fpc=∠bcp，∠fpb=∠a

　　又∵∠1=∠bcp-∠a ∠2=∠fpc-∠fpb

　　∴∠1=∠2 ∵∠a=∠d，∴△pac∽△pdb

　　∴pa·pb=pd·pc

　　說明：此題在例2題的拓展的基礎(chǔ)上解得非常容易。

　�。ㄈ�）總結(jié)

　　學(xué)習(xí)了兩圓的公切線，應(yīng)該掌握以下幾個方面

　　1、由圓的軸對稱性，兩圓外(或內(nèi))公切線的交點(如果存在)在連心線上。

　　2、公切線長的計算，都轉(zhuǎn)化為解直角三角形，故解題思路主要是構(gòu)造直角三角形。

　　3、常用的輔助線：

　　（1）兩圓在各種情況下�？紤]添連心線；

　　（2）兩圓外切時，常添內(nèi)公切線；兩圓內(nèi)切時，常添外公切線。

　　4、自己要有深入研究問題的意識，不斷反思，不斷歸納總結(jié)。

　　（四）作業(yè)教材p151習(xí)題中15，b組2。

　　探究活動

　　問題：如圖1，已知兩圓相交于a、b，直線cd與兩圓分別相交于c、e、f、d。

　　(1)用量角器量出∠eaf與∠cbd的`大小，根據(jù)量得結(jié)果，請你猜想∠eaf與∠cbd的大小之間存在怎樣的關(guān)系，并證明你所得到的結(jié)論。

　　(2)當(dāng)直線cd的位置如圖2時，上題的結(jié)論是否還能成立?并說明理由。

　　(3)如果將已知中的“兩圓相交”改為“兩圓外切于點a”，其余條件不變（如圖3），那么第（1）題所得的結(jié)論將變?yōu)槭裁�？并作出證明。

　　提示：（1）（2）（3）都有∠eaf+∠cbd=180°。證明略（如圖作輔助線）。

　　說明：問題從操作測量得到的實驗數(shù)據(jù)入手，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，歸傻貿(mào)霾孿耄進(jìn)而證明猜想成立。這也數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種方法。第(2)、(3)題是對第(1)題結(jié)論的推廣和特殊化。第(3)題中若cd移動到與兩圓相切于點c、d，那么結(jié)論又將變?yōu)椤蟘ad＝90°。

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