- 高中數(shù)學教案 推薦度：
- 高中數(shù)學教案教學設(shè)計 推薦度：
- 相關(guān)推薦
高中數(shù)學教案模板范文
作為一位兢兢業(yè)業(yè)的人民教師，總歸要編寫教案，教案是教材及大綱與課堂教學的紐帶和橋梁。那么教案應(yīng)該怎么寫才合適呢？下面是小編整理的高中數(shù)學教案模板范文，歡迎閱讀與收藏。
高中數(shù)學教案1
教學目標
(1)正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列;
(2)了解排列和排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列;
(3)掌握排列數(shù)公式，并能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列數(shù);
(4)會分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力;
(5)通過對排列應(yīng)用問題的學習，讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律，得出結(jié)論，以培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度。
教學建議
一、知識結(jié)構(gòu)
二、重點難點分析
本小節(jié)的重點是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式，并運用這個公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問題.難點是導(dǎo)出排列數(shù)的公式和解有關(guān)排列的應(yīng)用題.突破重點、難點的關(guān)鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應(yīng)用問題當中.
從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取m個元素的一個排列.因此，兩個相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同.排列數(shù)是指從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素的所有不同排列的種數(shù)，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應(yīng)的`排列數(shù).排列與排列數(shù)是兩個概念，前者是具有m個元素的排列，后者是這種排列的不同種數(shù).從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的有序集，相當于一個排列，而這種有序集的個數(shù)，就是相應(yīng)的排列數(shù).
公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解.要重點分析好的推導(dǎo).
排列的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點，通過本節(jié)例題的分析，應(yīng)注意培養(yǎng)學生解決應(yīng)用問題的能力.
在分析應(yīng)用題的解法時，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時的種數(shù)，這樣解釋比較直觀，教學上要充分利用，要求學生作題時也應(yīng)盡量采用.
在教學排列應(yīng)用題時，開始應(yīng)要求學生寫解法要有簡要的文字說明，防止單純的只寫一個排列數(shù)，這樣可以培養(yǎng)學生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求.
三、教法建議
①在講解排列數(shù)的概念時，要注意區(qū)分“排列數(shù)”與“一個排列”這兩個概念.一個排列是指“從n個不同元素中，任取出m個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數(shù)，而是具體的一件事;排列數(shù)是指“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù)”，它是一個數(shù).例如，從3個元素a，b，c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：ab，ac，ba，bc，ca，cb，其中每一種都叫一個排列，共有6種，而數(shù)字6就是排列數(shù)，符號表示排列數(shù).
②排列的定義中包含兩個基本內(nèi)容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”.
從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列.
在定義中“一定順序”就是說與位置有關(guān)，在實際問題中，要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區(qū)別.
在排列的定義中 ，如果 有的書上叫選排列，如果 ，此時叫全排列.
要特別注意，不加特殊說明，本章不研究重復(fù)排列問題.
③關(guān)于排列數(shù)公式的推導(dǎo)的教學.公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解.課本上用的是不完全歸納法，先推導(dǎo) ， ，…，再推廣到 ，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學生是不難理解的
導(dǎo)出公式 后要分析這個公式的構(gòu)成特點，以便幫助學生正確地記憶公式，防止學生在“n”、“m”比較復(fù)雜的時候把公式寫錯.這個公式的特點可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個因數(shù)是n，后面每個因數(shù)都比它前面一個因數(shù)少1，最后一個因數(shù)是 ，共m個因數(shù)相乘.”這實際是講三個特點：第一個因數(shù)是什么?最后一個因數(shù)是什么?一共有多少個連續(xù)的自然數(shù)相乘.
公式 是在引出全排列數(shù)公式 后，將排列數(shù)公式變形后得到的公式.對這個公式指出兩點：(1)在一般情況下，要計算具體的排列數(shù)的值，常用前一個公式，而要對含有字母的排列數(shù)的式子進行變形或作有關(guān)的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題;(2)為使這個公式在 時也能成立，規(guī)定 ，如同 時 一樣，是一種規(guī)定，因此，不能按階乘數(shù)的原意作解釋.
④建議應(yīng)充分利用樹形圖對問題進行分析，這樣比較直觀，便于理解.
⑤學生在開始做排列應(yīng)用題的作業(yè)時，應(yīng)要求他們寫出解法的簡要說明，而不能只列出算式、得出答數(shù)，這樣有利于學生得更加扎實.隨著學生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求.
高中數(shù)學教案2
教學目標
(1)使學生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題;
(2)使學生掌握組合數(shù)的計算公式;
(3)通過學習組合知識，讓學生掌握類比的學習方法，并提高學生分析問題和解決問題的能力;
教學重點難點
重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式;
難點是解組合的應(yīng)用題.
教學過程設(shè)計
(-)導(dǎo)入新課
(教師活動)提出下列思考問題，打出字幕.
[字幕]一條鐵路線上有6個火車站，(1)需準備多少種不同的普通客車票?(2)有多少種不同票價的普通客車票?上面問題中，哪一問是排列問題?哪一問是組合問題?
(學生活動)討論并回答.
答案提示：(1)排列;(2)組合.
[評述]問題(1)是從6個火車站中任選兩個，并按一定的順序排列，要求出排法的種數(shù)，屬于排列問題;(2)是從6個火車站中任選兩個并成一組，兩站無順序關(guān)系，要求出不同的組數(shù)，屬于組合問題.這節(jié)課著重研究組合問題.
設(shè)計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的上面設(shè)計的問題目的是從排列知識中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題.
(二)新課講授
[提出問題 創(chuàng)設(shè)情境]
(教師活動)指導(dǎo)學生帶著問題閱讀課文.
[字幕]1.排列的定義是什么?
2.舉例說明一個組合是什么?
3.一個組合與一個排列有何區(qū)別?
(學生活動)閱讀回答.
(教師活動)對照課文，逐一評析.
設(shè)計意圖：激活學生的思維，使其將所學的知識遷移過渡，并盡快適應(yīng)新的環(huán)境.
【歸納概括 建立新知】
(教師活動)承接上述問題的回答，展示下面知識.
[字幕]模型：從 個不同元素中取出 個元素并成一組，叫做從 個不同元素中取出 個元素的一個組合.如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合.
組合數(shù)：從 個不同元素中取出 個元素的所有組合的個數(shù)，稱之，用符號 表示，如從6個元素中取出2個元素的'組合數(shù)為 .
[評述]區(qū)分一個排列與一個組合的關(guān)鍵是：該問題是否與順序有關(guān)，當取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題;若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題.
(學生活動)傾聽、思索、記錄.
(教師活動)提出思考問題.
[投影] 與 的關(guān)系如何?
(師生活動)共同探討.求從 個不同元素中取出 個元素的排列數(shù) ，可分為以下兩步：
第1步，先求出從這 個不同元素中取出 個元素的組合數(shù)為 ;
第2步，求每一個組合中 個元素的全排列數(shù)為 .根據(jù)分步計數(shù)原理，得到
[字幕]公式1：
公式2：
(學生活動)驗算 ，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票.
設(shè)計意圖：本著以認識概念為起點，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學生思維層層被激活、逐漸深入到問題當中去.
【例題示范 探求方法】
(教師活動)打出字幕，給出示范，指導(dǎo)訓練.
[字幕]例1 列舉從4個元素 中任取2個元素的所有組合.
例2 計算：(1) ;(2) .
(學生活動)板演、示范.
(教師活動)講評并指出用兩種方法計算例2的第2小題.
[字幕]例3 已知 ，求 的所有值.
(學生活動)思考分析.
解 首先，根據(jù)組合的定義，有
①
其次，由原不等式轉(zhuǎn)化為
即
解得 ②
綜合①、②，得 ，即
[點評]這是組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是公式的選擇.
設(shè)計意圖：例題教學循序漸進，讓學生鞏固知識，強化公式的應(yīng)用，從而培養(yǎng)學生的綜合分析能力.
【反饋練習 學會應(yīng)用】
(教師活動)給出練習，學生解答，教師點評.
[課堂練習]課本P99練習第2，5，6題.
[補充練習]
[字幕]1.計算：
2.已知 ，求 .
(學生活動)板演、解答.
設(shè)計意圖：課堂教學體現(xiàn)以學生為本，讓全體學生參與訓練，深刻揭示排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)、特征及應(yīng)用.
(三)小結(jié)
(師生活動)共同小結(jié).
本節(jié)主要內(nèi)容有
1.組合概念.
2.組合數(shù)計算的兩個公式.
(四)布置作業(yè)
1.課本作業(yè)：習題10 3第1(1)、(4)，3題.
2.思考題：某學習小組有8個同學，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學、物理、化學三種學科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學各有多少人?
3.研究性題：
在 的 邊上除頂點 外有 5個點，在 邊上有 4個點，由這些點(包括 )能組成多少個四邊形?能組成多少個三角形?
(五)課后點評
在學習了排列知識的基礎(chǔ)上，本節(jié)課引進了組合概念，并推導(dǎo)出組合數(shù)公式，同時調(diào)控進行訓練，從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.
高中數(shù)學教案3
【考綱要求】
了解雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，知道它的簡單性質(zhì)。
【自學質(zhì)疑】
1.雙曲線 的 軸在 軸上， 軸在 軸上，實軸長等于 ，虛軸長等于 ，焦距等于 ，頂點坐標是 ，焦點坐標是 ，
漸近線方程是 ，離心率 ，若點 是雙曲線上的點，則 ， 。
2.又曲線 的左支上一點到左焦點的距離是7，則這點到雙曲線的右焦點的距離是
3.經(jīng)過兩點 的雙曲線的標準方程是 。
4.雙曲線的漸近線方程是 ，則該雙曲線的離心率等于 。
5.與雙曲線 有公共的漸近線，且經(jīng)過點 的雙曲線的方程為
【例題精講】
1.雙曲線的離心率等于 ，且與橢圓 有公共焦點，求該雙曲線的方程。
2.已知橢圓具有性質(zhì)：若 是橢圓 上關(guān)于原點對稱的'兩個點，點 是橢圓上任意一點，當直線 的斜率都存在，并記為 時，那么 之積是與點 位置無關(guān)的定值，試對雙曲線 寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。
3.設(shè)雙曲線 的半焦距為 ，直線 過 兩點，已知原點到直線 的距離為 ，求雙曲線的離心率。
【矯正鞏固】
1.雙曲線 上一點 到一個焦點的距離為 ，則它到另一個焦點的距離為 。
2.與雙曲線 有共同的漸近線，且經(jīng)過點 的雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離是 。
3.若雙曲線 上一點 到它的右焦點的距離是 ，則點 到 軸的距離是
4.過雙曲線 的左焦點 的直線交雙曲線于 兩點，若 。則這樣的直線一共有 條。
【遷移應(yīng)用】
1. 已知雙曲線 的焦點到漸近線的距離是其頂點到漸近線距離的2倍，則該雙曲線的離心率
2. 已知雙曲線 的焦點為 ，點 在雙曲線上，且 ，則點 到 軸的距離為 。
3. 雙曲線 的焦距為
4. 已知雙曲線 的一個頂點到它的一條漸近線的距離為 ，則
5. 設(shè) 是等腰三角形， ，則以 為焦點且過點 的雙曲線的離心率為 .
6. 已知圓 。以圓 與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為
高中數(shù)學教案4
整體設(shè)計
教學分析
我們在初中的學習過程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運算性質(zhì)。從本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分數(shù)指數(shù)。進而推廣到有理數(shù)指數(shù)，再推廣到實數(shù)指數(shù)，并將冪的運算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪。
教材為了讓學生在學習之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實際背景，先給出兩個具體例子：GDP的增長問題和碳14的衰減問題。前一個問題，既讓學生回顧了初中學過的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價值。后一個問題讓學生體會其中的函數(shù)模型的同時，激發(fā)學生探究分數(shù)指數(shù)冪、無理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望，為新知識的學習作了鋪墊。
本節(jié)安排的內(nèi)容蘊涵了許多重要的數(shù)學思想方法，如推廣的思想（指數(shù)冪運算律的推廣）、類比的思想、逼近的思想（有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪）、數(shù)形結(jié)合的思想（用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）等，同時，充分關(guān)注與實際問題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學的應(yīng)用價值。
根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設(shè)教學情境，為學生的數(shù)學探究與數(shù)學思維提供支持。
三維目標
1、通過與初中所學的知識進行類比，理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，進而學習指數(shù)冪的性質(zhì)。掌握分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)。培養(yǎng)學生觀察分析、抽象類比的能力。
2、掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想。通過運算訓練，養(yǎng)成學生嚴謹治學，一絲不茍的學習習慣，讓學生了解數(shù)學來自生活，數(shù)學又服務(wù)于生活的哲理。
3、能熟練地運用有理指數(shù)冪運算性質(zhì)進行化簡、求值，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S和科學正確的計算能力。
4、通過訓練及點評，讓學生更能熟練掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì)。展示函數(shù)圖象，讓學生通過觀察，進而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學生體驗數(shù)學的簡潔美和統(tǒng)一美。
重點難點
教學重點
（1）分數(shù)指數(shù)冪和根式概念的理解。
（2）掌握并運用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)。
（3）運用有理指數(shù)冪的性質(zhì)進行化簡、求值。
教學難點
（1）分數(shù)指數(shù)冪及根式概念的理解。
（2）有理指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應(yīng)用。
課時安排
3課時
教學過程
第1課時
作者：路致芳
導(dǎo)入新課
思路1.同學們在預(yù)習的過程中能否知道考古學家如何判斷生物的發(fā)展與進化，又怎樣判斷它們所處的年代？（考古學家是通過對生物化石的研究來判斷生物的發(fā)展與進化的，第二個問題我們不太清楚）考古學家是按照這樣一條規(guī)律推測生物所處的年代的。教師板書本節(jié)課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算。
思路2.同學們，我們在初中學習了平方根、立方根，那么有沒有四次方根、五次方根…n次方根呢？答案是肯定的，這就是我們本堂課研究的課題：指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運算。
推進新課
新知探究
提出問題
（1）什么是平方根？什么是立方根？一個數(shù)的平方根有幾個，立方根呢？
（2）如x4=a，x5=a，x6=a，根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢？
（3）根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎？
（4）可否用一個式子表達呢？
活動：教師提示，引導(dǎo)學生回憶初中的時候已經(jīng)學過的平方根、立方根是如何定義的，對照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對問題(2)的結(jié)論進行引申、推廣，相互交流討論后回答，教師及時啟發(fā)學生，具體問題一般化，歸納類比出n次方根的概念，評價學生的思維。
討論結(jié)果：(1)若x2=a，則x叫做a的平方根，正實數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為±2，負數(shù)沒有平方根，同理，若x3=a，則x叫做a的立方根，一個數(shù)的立方根只有一個，如：-8的立方根為-2.
（2）類比平方根、立方根的定義，一個數(shù)的四次方等于a，則這個數(shù)叫a的四次方根。一個數(shù)的五次方等于a，則這個數(shù)叫a的五次方根。一個數(shù)的六次方等于a，則這個數(shù)叫a的六次方根。
（3）類比(2)得到一個數(shù)的n次方等于a，則這個數(shù)叫a的n次方根。
（4）用一個式子表達是，若xn=a，則x叫a的n次方根。
教師板書n次方根的意義：
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根(n th root)，其中n>1且n∈正整數(shù)集。
可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。
提出問題
（1）你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎？（多媒體顯示以下題目）。
①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦a6的立方根。
（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分別對應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù)，有什么特點？4，±8，16，-32，32，0，a6分別對應(yīng)什么性質(zhì)的數(shù)，有什么特點？
（3）問題(2)中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負，還有零，結(jié)論有一個的，也有兩個的，你能否總結(jié)一般規(guī)律呢？
（4）任何一個數(shù)a的偶次方根是否存在呢？
活動：教師提示學生切實緊扣n次方根的概念，求一個數(shù)a的n次方根，就是求出的那個數(shù)的n次方等于a，及時點撥學生，從數(shù)的分類考慮，可以把具體的數(shù)寫出來，觀察數(shù)的特點，對問題(2)中的結(jié)論，類比推廣引申，考慮要全面，對回答正確的學生及時表揚，對回答不準確的學生提示引導(dǎo)考慮問題的思路。
討論結(jié)果：(1)因為±2的平方等于4，±2的立方等于±8，±2的4次方等于16,2的5次方等于32，-2的5次方等于-32,0的7次方等于0，a2的立方等于a6，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，a6的立方根分別是±2，±2，±2,2，-2,0，a2.
（2）方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點是有奇數(shù)和偶數(shù)。總的來看，這些數(shù)包括正數(shù)，負數(shù)和零。
（3）一個數(shù)a的奇次方根只有一個，一個正數(shù)a的偶次方根有兩個，是互為相反數(shù)。0的任何次方根都是0.
（4）任何一個數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負數(shù)的偶次方根就不存在，因為沒有一個數(shù)的偶次方是一個負數(shù)。
類比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的討論，歸納出一般情形，得到n次方根的性質(zhì)：
①當n為偶數(shù)時，正數(shù)a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負數(shù)，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
②n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示。
③負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是零。
上面的文字語言可用下面的式子表示：
a為正數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根有一個為na，n為偶數(shù)，a的n次方根有兩個為±na.
a為負數(shù)：n為奇數(shù)，a的n次方根只有一個為na，n為偶數(shù)，a的n次方根不存在。
零的n次方根為零，記為n0=0.
可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例。
思考
根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說明上述幾種情況？
活動：教師提示學生對方根的性質(zhì)要分類掌握，即正數(shù)的奇偶次方根，負數(shù)的奇次方根，零的任何次方根，這樣才不重不漏，同時巡視學生，隨機給出一個數(shù)，我們寫出它的平方根，立方根，四次方根等，看是否有意義，注意觀察方根的形式，及時糾正學生在舉例過程中的問題。
解：答案不，比如，64的立方根是4,16的'四次方根為±2，-27的5次方根為5-27，而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根，它類似于na的形式，現(xiàn)在我們給式子na一個名稱——根式。
根式的概念：
式子na叫做根式，其中a叫做被開方數(shù)，n叫做根指數(shù)。
如3-27中，3叫根指數(shù)，-27叫被開方數(shù)。
思考
nan表示an的n次方根，式子nan=a一定成立嗎？如果不一定成立，那么nan等于什么？
活動：教師讓學生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號，充分讓學生多舉實例，分組討論。教師點撥，注意歸納整理。
〔如3(-3)3=3-27=-3，4(-8)4=|-8|=8〕。
解答：根據(jù)n次方根的意義，可得：(na)n=a.
通過探究得到：n為奇數(shù)，nan=a.
n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
因此我們得到n次方根的運算性質(zhì)：
①(na)n=a.先開方，再乘方（同次），結(jié)果為被開方數(shù)。
②n為奇數(shù)，nan=a.先奇次乘方，再開方（同次），結(jié)果為被開方數(shù)。
n為偶數(shù)，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.先偶次乘方，再開方（同次），結(jié)果為被開方數(shù)的絕對值。
應(yīng)用示例
思路1
例求下列各式的值：
（1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π）4;(4)(a-b)2(a>b)。
活動：求某些式子的值，首先考慮的應(yīng)是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對每一個題目仔細分析。觀察學生的解題情況，讓學生展示結(jié)果，抓住學生在解題過程中出現(xiàn)的問題并對癥下藥。求下列各式的值實際上是求數(shù)的方根，可按方根的運算性質(zhì)來解，首先要搞清楚運算順序，目的是把被開方數(shù)的符號定準，然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，如果是奇數(shù)，無需考慮符號，如果是偶數(shù)，開方的結(jié)果必須是非負數(shù)。
解：(1)3(-8)3=-8;
（2）(-10)2=10;
（3)4(3-π）4=π-3;
（4）(a-b)2=a-b(a>b)。
點評：不注意n的奇偶性對式子nan的值的影響，是導(dǎo)致問題出現(xiàn)的一個重要原因，要在理解的基礎(chǔ)上，記準，記熟，會用，活用。
變式訓練
求出下列各式的值：
(1)7(-2)7;
(2)3(3a-3)3(a≤1)；
(3)4(3a-3)4.
解：(1)7(-2)7=-2，
(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3，
(3)4(3a-3)4=
點評：本題易錯的是第(3)題，往往忽視a與1大小的討論，造成錯解。
思路2
例1下列各式中正確的是（）
A.4a4=a
B.6(-2)2=3-2
C.a0=1
D.10(2-1)5=2-1
活動：教師提示，這是一道選擇題，本題考查n次方根的運算性質(zhì)，應(yīng)首先考慮根據(jù)方根的意義和運算性質(zhì)來解，既要考慮被開方數(shù)，又要考慮根指數(shù)，嚴格按求方根的步驟，體會方根運算的實質(zhì)，學生先思考哪些地方容易出錯，再回答。
解析：(1)4a4=a，考查n次方根的運算性質(zhì)，當n為偶數(shù)時，應(yīng)先寫nan=|a|，故A項錯。
(2)6(-2)2=3-2，本質(zhì)上與上題相同，是一個正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運算順序也應(yīng)如此，結(jié)論為6(-2)2=32，故B項錯。
(3)a0=1是有條件的，即a≠0，故C項也錯。
(4)D項是一個正數(shù)的偶次方根，根據(jù)運算順序也應(yīng)如此，故D項正確。所以答案選D.
答案：D
點評：本題由于考查n次方根的運算性質(zhì)與運算順序，有時極易選錯，選四個答案的情況都會有，因此解題時千萬要細心。
例2 3+22+3-22=__________.
活動：讓同學們積極思考，交流討論，本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無關(guān)，但仔細一想，我們學習的內(nèi)容是方根，這里是帶有雙重根號的式子，去掉一層根號，根據(jù)方根的運算求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵，因此將根號下面的式子化成一個完全平方式就更為關(guān)鍵了，從何處入手？需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關(guān)鍵，教師提示，引導(dǎo)學生解題的思路。
解析：因為3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1，
3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1，
所以3+22+3-22=22.
答案：22
點評：不難看出3-22與3+22形式上有些特點，即是對稱根式，是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法把其化成一個完全平方式。
思考
上面的例2還有別的解法嗎？
活動：教師引導(dǎo)，去根號常常利用完全平方公式，有時平方差公式也可，同學們觀察兩個式子的特點，具有對稱性，再考慮并交流討論，一個是“+”，一個是“-”，去掉一層根號后，相加正好抵消。同時借助平方差，又可去掉根號，因此把兩個式子的和看成一個整體，兩邊平方即可，探討得另一種解法。
另解：利用整體思想，x=3+22+3-22，
兩邊平方，得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8，所以x=22.
點評：對雙重二次根式，特別是A±2B形式的式子，我們總能找到辦法將根號下面的式子化成一個完全平方式，問題迎刃而解，另外對A+2B±A-2B的式子，我們可以把它們看成一個整體利用完全平方公式和平方差公式去解。
變式訓練
若a2-2a+1=a-1，求a的取值范圍。
解：因為a2-2a+1=a-1，而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1，
即a-1≥0，
所以a≥1.
點評：利用方根的運算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去絕對值符號，是解題的關(guān)鍵。
知能訓練
（教師用多媒體顯示在屏幕上）
1、以下說法正確的是（）
A.正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)
B.負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)
C.0的n次方根是零
D.a的n次方根用na表示（以上n>1且n∈正整數(shù)集）
答案：C
2、化簡下列各式：
(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.
答案：(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。
3、計算7+40+7-40=__________.
解析：7+40+7-40
=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2
=(5+2)2+(5-2)2
=5+2+5-2
=25.
答案：25
拓展提升
問題：nan=a與(na)n=a(n>1，n∈N)哪一個是恒等式，為什么？請舉例說明。
活動：組織學生結(jié)合前面的例題及其解答，進行分析討論，解決這一問題要緊扣n次方根的定義。
通過歸納，得出問題結(jié)果，對a是正數(shù)和零，n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時討論一下。再對a是負數(shù)，n為偶數(shù)時，n為奇數(shù)時討論一下，就可得到相應(yīng)的結(jié)論。
解：(1)(na)n=a(n>1，n∈N)。
如果xn=a(n>1，且n∈N)有意義，則無論n是奇數(shù)或偶數(shù)，x=na一定是它的一個n次方根，所以(na)n=a恒成立。
例如：(43)4=3，(3-5)3=-5.
(2)nan=a，|a|，當n為奇數(shù)，當n為偶數(shù)。
當n為奇數(shù)時，a∈R，nan=a恒成立。
例如：525=2，5(-2)5=-2.
當n為偶數(shù)時，a∈R，an≥0，nan表示正的n次方根或0，所以如果a≥0，那么nan=a.例如434=3，40=0;如果a<0，那么nan=|a|=-a，如(-3)2=32=3，
即(na)n=a(n>1，n∈N)是恒等式，nan=a(n>1，n∈N)是有條件的。
點評：實質(zhì)上是對n次方根的概念、性質(zhì)以及運算性質(zhì)的深刻理解。
課堂小結(jié)
學生仔細交流討論后，在筆記上寫出本節(jié)課的學習收獲，教師用多媒體顯示在屏幕上。
1、如果xn=a，那么x叫a的n次方根，其中n>1且n∈正整數(shù)集。用式子na表示，式子na叫根式，其中a叫被開方數(shù)，n叫根指數(shù)。
（1）當n為偶數(shù)時，a的n次方根有兩個，是互為相反數(shù)，正的n次方根用na表示，如果是負數(shù)，負的n次方根用-na表示，正的n次方根與負的n次方根合并寫成±na(a>0)。
(2)n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)，這時a的n次方根用符號na表示。
（3）負數(shù)沒有偶次方根。0的任何次方根都是零。
2、掌握兩個公式：n為奇數(shù)時，(na)n=a，n為偶數(shù)時，nan=|a|=a，-a，a≥0，a<0.
作業(yè)
課本習題2.1A組1.
補充作業(yè)：
1、化簡下列各式：
(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.
解：(1)681=634=332=39;
(2)15-32=-1525=-32;
(3)6a2b4=6（|a|？b2）2=3|a|？b2.
2、若5
解析：因為5
答案：2a-13
3.5+26+5-26=__________.
解析：對雙重二次根式，我們覺得難以下筆，我們考慮只有在開方的前提下才可能解出，由此提示我們想辦法去掉一層根式，
不難看出5+26=(3+2)2=3+2.
同理5-26=(3-2)2=3-2.
所以5+26+5-26=23.
答案：23
設(shè)計感想
學生已經(jīng)學習了數(shù)的平方根和立方根，根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣，本節(jié)課由于方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解，在引入根式的概念時，要結(jié)合已學內(nèi)容，列舉具體實例，根式na的講解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來進行，每種情況又分a>0，a<0，a=0三種情況，并結(jié)合具體例子講解，因此設(shè)計了大量的類比和練習題目，要靈活處理這些題目，幫助學生加以理解，所以需要用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教學。
第2課時
作者：郝云靜
導(dǎo)入新課
思路1.碳14測年法。原來宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并與氧結(jié)合成二氧化碳后進入所有活組織，先為植物吸收，再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸收碳14在機體內(nèi)保持一定的水平。而當有機體死亡后，即會停止吸收碳14，其組織內(nèi)的碳14便以約5 730年的半衰期開始衰變并消失。對于任何含碳物質(zhì)只要測定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代（半衰期：經(jīng)過一定的時間，變?yōu)樵瓉淼囊话耄Ｒ霰竟?jié)課題：指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分數(shù)指數(shù)冪。
思路2.同學們，我們在初中學習了整數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)，那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是肯定的。這就是本節(jié)的主講內(nèi)容，教師板書本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)冪的運算之分數(shù)指數(shù)冪。
推進新課
新知探究
提出問題
（1）整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是什么？
（2）觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a>0，
①；
②a8=(a4)2=a4=，；
③4a12=4(a3)4=a3=；
④2a10=2(a5)2=a5= 。
（3）利用(2)的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？
，，，(x>0，m，n∈正整數(shù)集，且n>1)。
（4）你能用方根的意義來解釋(3)的式子嗎？
（5）你能推廣到一般的情形嗎？
活動：學生回顧初中學習的整數(shù)指數(shù)冪及運算性質(zhì)，仔細觀察，特別是每題的開始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系，教師引導(dǎo)學生體會方根的意義，用方根的意義加以解釋，指點啟發(fā)學生類比(2)的規(guī)律表示，借鑒(2)(3)，我們把具體推廣到一般，對寫正確的同學及時表揚，其他學生鼓勵提示。
討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：an=a?a?a?…？a，a0=1(a≠0)；00無意義；
a-n=1an(a≠0)；am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.
（2）①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根。實質(zhì)上①5a10=，②a8=，③4a12=，④2a10=結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫成了105，82，124，105，形式上變了，本質(zhì)沒變。
根據(jù)4個式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)作為指數(shù)的形式（分數(shù)指數(shù)冪形式）。
（3）利用(2)的規(guī)律，453=，375=，5a7=，nxm= 。
(4)53的四次方根是，75的三次方根是，a7的五次方根是，xm的n次方根是。
結(jié)果表明方根的結(jié)果和分數(shù)指數(shù)冪是相通的。
（5）如果a>0，那么am的n次方根可表示為nam=，即=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)。
綜上所述，我們得到正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義，教師板書：
規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)。
提出問題
（1）負整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的？
（2）你能得出負分數(shù)指數(shù)冪的意義嗎？
（3）你認為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分數(shù)指數(shù)冪的意義？
（4）綜合上述，如何規(guī)定分數(shù)指數(shù)冪的意義？
（5）分數(shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a>0，去掉這個規(guī)定會產(chǎn)生什么樣的后果？
（6）既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢？
活動：學生回想初中學習的情形，結(jié)合自己的學習體會回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負整數(shù)指數(shù)冪的意義來類比，把正分數(shù)指數(shù)冪的意義與負分數(shù)指數(shù)冪的意義融合起來，與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，教師在黑板上板書，學生合作交流，以具體的實例說明a>0的必要性，教師及時作出評價。
討論結(jié)果：(1)負整數(shù)指數(shù)冪的意義是：a-n=1an(a≠0)，n∈N+。
（2）既然負整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義。
規(guī)定：正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈=N+，n>1)。
（3）規(guī)定：零的分數(shù)指數(shù)冪的意義是：零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。
（4）教師板書分數(shù)指數(shù)冪的意義。分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：
正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。
（5）若沒有a>0這個條件會怎樣呢？
如=3-1=-1，=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說明分數(shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時是無意義的。因此在把根式化成分數(shù)指數(shù)時，切記要使底數(shù)大于零，如無a>0的條件，比如式子3a2=，同時負數(shù)開奇次方是有意義的，負數(shù)開奇次方時，應(yīng)把負號移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分數(shù)指數(shù)冪，也就是說，負分數(shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù)，而不是負數(shù)，負數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上。
（6）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。
有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：
①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)，
②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)，
③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。
我們利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解決一些問題，來看下面的例題。
應(yīng)用示例
例1求值：(1)；(2)；(3)12-5;(4) 。
活動：教師引導(dǎo)學生考慮解題的方法，利用冪的運算性質(zhì)計算出數(shù)值或化成最簡根式，根據(jù)題目要求，把底數(shù)寫成冪的形式，8寫成23,25寫成52，12寫成2-1，1681寫成234，利用有理數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解答，完成后，把自己的答案用投影儀展示出來。
解：(1) =22=4;
（2）=5-1=15;
(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;
（4）=23-3=278.
點評：本例主要考查冪值運算，要按規(guī)定來解。在進行冪值運算時，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運算，而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運算，如=382=364=4.
例2用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式。
a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。
活動：學生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質(zhì)來運算，根式化為分數(shù)指數(shù)冪時，要由里往外依次進行，把握好運算性質(zhì)和順序，學生討論交流自己的解題步驟，教師評價學生的解題情況，鼓勵學生注意總結(jié)。
解：a3?a=a3? =；
a2?3a2=a2? =；
a3a= 。
點評：利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行根式運算時，其順序是先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質(zhì)來運算。對于計算的結(jié)果，不強求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特別要求，就用分數(shù)指數(shù)冪的形式來表示，但結(jié)果不能既有分數(shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負指數(shù)。
例3計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）。
（1）；
（2）。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，四則運算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號內(nèi)的，整數(shù)冪的運算性質(zhì)及運算規(guī)律擴充到分數(shù)指數(shù)冪后，其運算順序仍符合我們以前的四則運算順序，再解答，把自己的答案用投影儀展示出來，相互交流，其中要注意到(1)小題是單項式的乘除運算，可以用單項式的乘除法運算順序進行，要注意符號，第(2)小題是乘方運算，可先按積的乘方計算，再按冪的乘方進行計算，熟悉后可以簡化步驟。
解：(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;
（2）=m2n-3=m2n3.
點評：分數(shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫法。有了分數(shù)指數(shù)冪，就可把根式轉(zhuǎn)化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，用分數(shù)指數(shù)冪的運算法則進行運算了。
本例主要是指數(shù)冪的運算法則的綜合考查和應(yīng)用。
變式訓練
求值：(1)33?33?63;
(2)627m3125n64.
解：(1)33?33?63= =32=9;
(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.
例4計算下列各式：
（1）(325-125)÷425;
(2)a2a?3a2(a>0)。
活動：先由學生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底。利用分數(shù)指數(shù)冪計算，在第(1)小題中，只含有根式，且不是同次根式，比較難計算，但把根式先化為分數(shù)指數(shù)冪再計算，這樣就簡便多了，第(2)小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算，最后寫出解答。
解：(1)原式=
= =65-5;
(2)a2a?3a2= =6a5.
知能訓練
課本本節(jié)練習1,2,3
【補充練習】
教師用實物投影儀把題目投射到屏幕上讓學生解答，教師巡視，啟發(fā)，對做得好的同學給予表揚鼓勵。
1、(1)下列運算中，正確的是（）
A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2
C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6
（2）下列各式①4(-4)2n，②4(-4)2n+1，③5a4，④4a5（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是（）
A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④
（3）(34a6)2?(43a6)2等于（）
A.a B.a2 C.a3 D.a4
（4）把根式-25(a-b)-2改寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式為（）
A. B.
C. D.
（5）化簡的結(jié)果是（）
A.6a B.-a C.-9a D.9a
2、計算：(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.
（2）設(shè)5x=4,5y=2，則52x-y=__________.
3、已知x+y=12，xy=9且x 答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8 3、解：。 因為x+y=12，xy=9，所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27. 又因為x 所以原式= =12-6-63=-33. 拓展提升 1、化簡：。 活動：學生觀察式子特點，考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路，應(yīng)對原式進行因式分解，根據(jù)本題的特點，注意到： x-1= -13=； x+1= +13=； 。 構(gòu)建解題思路教師適時啟發(fā)提示。 解： = = = = 。 點撥：解這類題目，要注意運用以下公式， =a-b， =a± +b， =a±b. 2、已知，探究下列各式的值的求法。 (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。 解：(1)將，兩邊平方，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7; （2）將a+a-1=7兩邊平方，得a2+a-2+2=49，即a2+ a-2=47; （3）由于， 所以有=a+a-1+1=8. 點撥：對“條件求值”問題，一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值。 課堂小結(jié) 活動：教師，本節(jié)課同學們有哪些收獲？請把你的學習收獲記錄在你的筆記本上，同學們之間相互交流。同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點： （1）分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0，m，n∈正整數(shù)集，n>1)，零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。 （2）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。 （3）有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)： ①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈Q)， ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈Q)， ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈Q)。 （4）說明兩點： ①分數(shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性，其中沒有推出關(guān)系。 ②整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用。因而分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以利用=am來計算。 作業(yè) 課本習題2.1A組2,4. 設(shè)計感想 本節(jié)課是分數(shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用，分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充，要讓學生反復(fù)理解分數(shù)指數(shù)冪的意義，教學中可以通過根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒有合理的解釋，因此多安排一些練習，強化訓練，鞏固知識，要輔助以信息技術(shù)的手段來完成大容量的課堂教學任務(wù)。 第3課時 作者：鄭芳鳴 導(dǎo)入新課 思路1.同學們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分數(shù)到負分數(shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理數(shù)指數(shù)冪呢？回顧數(shù)的擴充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分數(shù)（有理數(shù)），有理數(shù)到實數(shù)。并且知道，在有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程中，增添的數(shù)是無理數(shù)。對無理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴充而來。既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書本堂課的課題〔指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)〕之無理數(shù)指數(shù)冪。 思路2.同學們，在初中我們學習了函數(shù)的知識，對函數(shù)有了一個初步的了解，到了高中，我們又對函數(shù)的概念進行了進一步的學習，有了更深的理解，我們僅僅學了幾種簡單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學的發(fā)展，社會的進步，我們還要學習許多函數(shù)，其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學習指數(shù)函數(shù)的知識，我們必須學習實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，為此，我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學習：指數(shù)與指數(shù)冪的運算(3)之無理數(shù)指數(shù)冪，教師板書本節(jié)課的課題。 推進新課 新知探究 提出問題 （1）我們知道2=1.414 213 56…，那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…，是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22，…，是2的什么近似值？ （2）多媒體顯示以下圖表：同學們從上面的兩個表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律？ 2的過剩近似值 的近似值 1.5 11.180 339 89 1.42 9.829 635 328 1.415 9.750 851 808 1.414 3 9.739 872 62 1.414 22 9.738 618 643 1.414 214 9.738 524 602 1.414 213 6 9.738 518 332 1.414 213 57 9.738 517 862 1.414 213 563 9.738 517 752 … … 的近似值 2的不足近似值 9.518 269 694 1.4 9.672 669 973 1.41 9.735 171 039 1.414 9.738 305 174 1.414 2 9.738 461 907 1.414 21 9.738 508 928 1.414 213 9.738 516 765 1.414 213 5 9.738 517 705 1.414 213 56 9.738 517 736 1.414 213 562 … … （3）你能給上述思想起個名字嗎？ （4）一個正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個什么性質(zhì)的數(shù)呢？如，根據(jù)你學過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？ （5）借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎？ 活動：教師引導(dǎo)，學生回憶，教師提問，學生回答，積極交流，及時評價學生，學生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容： 問題(1)從近似值的分類來考慮，一方面從大于2的方向，另一方面從小于2的方向。 問題(2)對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看，注意其關(guān)聯(lián)。 問題(3)上述方法實際上是無限接近，最后是逼近。 問題(4)對問題給予大膽猜測，從數(shù)軸的觀點加以解釋。 問題(5)在(3)(4)的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。 討論結(jié)果：(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21，…這些數(shù)都小于2，稱2的不足近似值，而1.42，1.415,1.414 3,1.414 22，…，這些數(shù)都大于2，稱2的過剩近似值。 （2）第一個表：從大于2的方向逼近2時，就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向逼近。 第二個表：從小于2的方向逼近2時，就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向逼近。 從另一角度來看這個問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，即小于的方向接近，而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，即大于的方向接近，可以說從兩個方向無限地接近，即逼近，所以是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21，…，和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22，…，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實上表示這些數(shù)的點從兩個方向向表示的點靠近，但這個點一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是一定是一個實數(shù)，即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5. 充分表明是一個實數(shù)。 （3）逼近思想，事實上里面含有極限的思想，這是以后要學的知識。 （4）根據(jù)(2)(3)我們可以推斷是一個實數(shù)，猜測一個正數(shù)的無理數(shù)次冪是一個實數(shù)。 （5）無理數(shù)指數(shù)冪的意義： 一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0，α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)。 也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個實數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。我們規(guī)定了無理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個確定的實數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪。 提出問題 （1）為什么在規(guī)定無理數(shù)指數(shù)冪的意義時，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？ （2）無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則是怎樣的？是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則相通呢？ （3）你能給出實數(shù)指數(shù)冪的運算法則嗎？ 活動：教師組織學生互助合作，交流探討，引導(dǎo)他們用反例說明問題，注意類比，歸納。 對問題(1)回顧我們學習分數(shù)指數(shù)冪的意義時對底數(shù)的規(guī)定，舉例說明。 對問題（2)結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，既然無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)，那么無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則應(yīng)當與有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則類似，并且相通。 對問題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運算法則和無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則，實數(shù)的運算法則自然就得到了。 討論結(jié)果：(1)底數(shù)大于零的必要性，若a=-1，那么aα是+1還是-1就無法確定了，這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理數(shù)指數(shù)冪aα是一個確定的實數(shù)，就不會再造成混亂。 （2）因為無理數(shù)指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)，所以能進行指數(shù)的運算，也能進行冪的運算，有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，同樣也適用于無理數(shù)指數(shù)冪。類比有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以得到無理數(shù)指數(shù)冪的運算法則： ①ar?as=ar+s（a>0，r，s都是無理數(shù)）。 ②（ar)s=ars(a>0，r，s都是無理數(shù)）。 ③（a?b)r=arbr(a>0，b>0，r是無理數(shù)）。 （3）指數(shù)冪擴充到實數(shù)后，指數(shù)冪的運算性質(zhì)也就推廣到了實數(shù)指數(shù)冪。 實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)： 對任意的實數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)： ①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。 ②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。 ③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。 應(yīng)用示例 例1利用函數(shù)計算器計算。（精確到0.001） (1)0.32.1;(2)3.14-3;(3)；(4) 。 活動：教師教會學生利用函數(shù)計算器計算，熟悉計算器的各鍵的功能，正確輸入各類數(shù)，算出數(shù)值，對于(1)，可先按底數(shù)0.3，再按xy鍵，再按冪指數(shù)2.1，最后按=，即可求得它的值； 對于(2)，先按底數(shù)3.14，再按xy鍵，再按負號-鍵，再按3，最后按=即可； 對于(3)，先按底數(shù)3.1，再按xy鍵，再按3÷4，最后按=即可； 對于(4)，這種無理指數(shù)冪，可先按底數(shù)3，其次按xy鍵，再按鍵，再按3，最后按=鍵。有時也可按2ndf或shift鍵，使用鍵上面的功能去運算。 學生可以相互交流，挖掘計算器的用途。 解：(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705. 點評：熟練掌握用計算器計算冪的值的方法與步驟，感受現(xiàn)代技術(shù)的威力，逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會；用四舍五入法求近似值，若保留小數(shù)點后n位，只需看第(n+1)位能否進位即可。 例2求值或化簡。 (1)a-4b23ab2(a>0，b>0)； （2）(a>0，b>0)； (3)5-26+7-43-6-42. 活動：學生觀察，思考，所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù)，若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達到最簡，對既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式的式子，應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分數(shù)指數(shù)冪的形式，便于運算，教師有針對性地提示引導(dǎo)，對(1)由里向外把根式化成分數(shù)指數(shù)冪，要緊扣分數(shù)指數(shù)冪的意義和運算性質(zhì)，對(2)既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)當統(tǒng)一起來，化為分數(shù)指數(shù)冪，對(3)有多重根號的式子，應(yīng)先去根號，這里是二次根式，被開方數(shù)應(yīng)湊完全平方，這樣，把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2，并對學生作及時的評價，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律。 解：(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。 點評：根式的運算常常化成冪的運算進行，計算結(jié)果如沒有特殊要求，就用根式的形式來表示。 教學目標 1使學生理解本章的知識結(jié)構(gòu)，并通過本章的知識結(jié)構(gòu)掌握本章的全部知識； 2對線段、射線、直線、角的概念及它們之間的關(guān)系有進一步的認識； 3掌握本章的全部定理和公理； 4理解本章的數(shù)學思想方法； 5了解本章的題目類型。 教學重點和難點 重點是理解本章的知識結(jié)構(gòu)，掌握本章的全部定和公理；難點是理解本章的數(shù)學思想方法。 教學設(shè)計過程 一、本章的知識結(jié)構(gòu) 二、本章中的概念 1直線、射線、線段的概念。 2線段的中點定義。 3角的兩個定義。 4直角、平角、周角、銳角、鈍角的概念。 5互余與互補的角。 三、本章中的公理和定理 1直線的公理；線段的公理。 2補角和余角的性質(zhì)定理。 四、本章中的主要習題類型 1對直線、射線、線段的概念的理解。 例1下列說法中正確的是( )。 A延長射線OP B延長直線CD C延長線段CD D反向延長直線CD 解：C因為射線和直線是可以向一方或兩方無限延伸的，所以任何延長射線或直線的說法都是錯誤的。而線段有兩個端點，可以向兩方延長。 例2如圖1-57中的線段共有多少條? 解：15條，它們是：線段AB，AD，AF，AC，AE，AG，BD，BF，DF，CE，CG，EG，BC，DE，F(xiàn)G。 2線段的和、差、倍、分。 例3已知線段AB，延長AB到C，使AC=2BC，反向延長AB到D使AD= BC，那么線段AD是線段AC的( )。 A．B. C. D. 解：B如圖1-58，因為AD是BC的二分之一，BC又是AC的二分之一，所以AD是AC的四分之一。 例4如圖1-59，B為線段AC上的一點，AB=4cm，BC=3cm，M，N分別為AB，BC的中點，求MN的長。 解：因為AB=4，M是AB的中點，所以MB=2，又因為N是BC的中點，所以BN=1.5。則MN=2+1.5=3.5 3角的概念性質(zhì)及角平分線。 例5如圖1-60，已知AOC是一條直線，OD是∠AOB的平分線，OE是∠BOC的平分線，求∠EOD的度數(shù)。 解：因為OD是∠AOB的平分線，所以∠BOD= ∠AOB；又因為OE是∠BOC的平分線，所以∠BOE= ∠BOC；又∠AOB+∠BOC=180°， 所以∠BOE+∠BOD=(∠AOB+∠BOC)÷2=90°。 則∠EOD=90°。 例6如圖1-61，已知∠AOB=∠COD=90°，又∠AOD=150°，那么∠AOC與∠COB的度數(shù)的比是多少? 解：因為∠AOB=90°，又∠AOD=150°，所以∠BOD=60°。 又∠COD=90°，所以∠COB=30°。 則∠AOC=60°，(同角的.余角相等) ∠AOC與∠COB的度數(shù)的比是2∶1。 4互余與互補角的性質(zhì)。 例7如圖1-62，直線AB，CD相交于O，∠BOE=90°，若∠BOD=45°，求∠COE，∠COA，∠AOD的度數(shù)。 解：因為COD為直線，∠BOE=90°，∠BOD=45°， 所以∠COE=180°-90°-45°=45° 又AOB為直線，∠BOE=90°，∠COE=45° 故∠COA=180°-90°-45°=45°， 而AOB為直線，∠BOD=45°， 因此∠AOD=180°-45°=135°。 例8一個角是另一個角的3倍，且小有的余角與大角的余角之差為20°，求這兩個角的度數(shù)。 解：設(shè)第一個角為x°，則另一個角為3x°， 依題義列方程得：(90-x)-(90-3x)=20，解得：x=10，3x=30。 答：一個角為10°，另一個角為30°。 5度分秒的換算及和、差、倍、分的計算。 例9 (1)將4589°化成度、分、秒的形式。 (2)將80°34′45″化成度。 (3)計算：(36°55′40″-23°56′45″)。 解：(1)45°53′24″。 (2)約為8058°。 (3)約為9°44′11″(第一步，做減法后得12°58′55″；再做乘法后得36°174′165″，可以先不進位，做除法后得9°44′11″) 五、本章中所學到的數(shù)學思想 1運動變化的觀點：幾何圖形不是孤立和靜止的，也應(yīng)看作不斷發(fā)展和變化的，如線段向一個方向延長，就發(fā)展成為射線；射線向另一方向延長就發(fā)展成直線。又如射線饒它的端點旋轉(zhuǎn)就形成角；角的終邊不斷旋轉(zhuǎn)就變化成直角、平角和周角。從圖形的運動中可以看到變化，從變化中看到聯(lián)系和區(qū)別及特性。 2數(shù)形結(jié)合的思想：在幾何的知識中經(jīng)常遇到計算問題，對形的研究離不開數(shù)。正如數(shù)學家華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難如微”。本章的知識中，將線段的長度用數(shù)量表示，利用方程的方法解決余角與補角的問題。因此我們對幾何的學習不能與代數(shù)的學習截然分開，在形的問題難以解決時，發(fā)揮數(shù)的功能，在數(shù)的問題遇到困難時，畫出與它相關(guān)的圖形，都會給問題的解決帶來新的思路。從幾何的起始課，就注意數(shù)形結(jié)合，就會養(yǎng)成良好的思維習慣。 3聯(lián)系實際，從實際事物中抽象出數(shù)學模型。數(shù)學的產(chǎn)生來源于生產(chǎn)和生活實踐，因此學習數(shù)學不能脫離實際生活，尤其是幾乎何的學習更離不開實際生活。一方面要讓學生知道本章的主要內(nèi)容是線和角，都在生活中有大量的原型存在，另一方面又要引導(dǎo)學生將所學的知識去解決某些簡單的實際問題，這才是理論聯(lián)系實際的觀點。 六、本章的疑點和誤點分析 概念在應(yīng)用中的混淆。 例10判斷正誤： (1)在∠AOB的邊OA的延長線上取一點D。 (2)大于90°的角是鈍角。 (3)任何一個角都可以有余角。 (4)∠A是銳角，則∠A的所有余角都相等。 (5)兩個銳角的和一定小于平角。 (6)直線MN是平角。 (7)互補的兩個角的和一定等于平角。 (8)如果一個角的補角是銳角，那么這個角就沒有余角。 (9)鈍角一定大于它的補角。 (10)經(jīng)過三點一定可以畫一條直線。 解：(1)錯。因為角的兩邊是射線，而射線是可以向一方無限延伸的，所以就不能再說射線的延長線了。 (2)錯。鈍角的定義是：大于直角且小于平角的角，叫做鈍角。 (3)錯。余角的定義是：如果兩個角的和是一個直角，這兩個角互為余角。因此大于直角的角沒有余角。 (4)對.∠A的所有余角都是90°-∠A。 (5)對.若∠A＜90°，∠B＜90°則∠A+∠B＜90°+90°=180°. (6)錯。平角是一個角就要有頂點，而直線上沒有表示平角頂點的點。如果在直線上標出表示角的頂點的點，就可以了。 (7)對。符合互補的角的定義。 (8)對。如果一個角的補角是銳角，那么這個角一定是鈍角，而鈍角是沒有余角的。 (9)對。因為鈍角的補角是銳角，鈍角一定大于銳角。 (10)錯。這個題應(yīng)該分情況討論：如果這三點在同一條直線上，這個結(jié)論是正確的。如果這三個點不在同一條直線上，那么過這三個點就不能畫一條直線。 板書設(shè)計 回顧與反思 (一)知識結(jié)構(gòu)(四)主要習題類型(五)本章的數(shù)學思想 略例1 1 · 2 (二)本章概念· 3 略· (六)疑誤點分析 (三)本章的公理和定理· 例9 教材分析： 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是普通高中課程標準實驗教科書(人教B版)數(shù)學必修四，第一章第二節(jié)內(nèi)容，其主要內(nèi)容是公式(一)至公式(四)。本節(jié)課是第二課時，教學內(nèi)容是公式(三)。教材要求通過學生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數(shù)定義和公式(一)(二)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)他們與單位圓的交點坐標之間關(guān)系，進而發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值的關(guān)系。同時教材滲透了轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法。 教案背景： 通過學生在已經(jīng)掌握的任意角的三角函數(shù)定義和公式(一)(二)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)他們與單位圓的交點坐標之間關(guān)系，進而發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)值的關(guān)系。同時教材滲透了轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法，為培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的學習習慣提出了要求。因此本節(jié)內(nèi)容在三角函數(shù)中占有非常重要的地位. 教學方法： 以學生為主題，以發(fā)現(xiàn)為主線，盡力滲透類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，采用提出問題、啟發(fā)引導(dǎo)、共同探究、綜合應(yīng)用等教學模式。 教學目標： 借助單位圓探究誘導(dǎo)公式。 能正確運用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)。 教學重點： 誘導(dǎo)公式(三)的推導(dǎo)及應(yīng)用。 教學難點： 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用。 教學手段： 多媒體。 教學情景設(shè)計： 一.復(fù)習回顧： 1. 誘導(dǎo)公式(一)(二)。 2. 角 (終邊在一條直線上) 3. 思考：下列一組角有什么特征?( )能否用式子來表示? 二.新課： 已知 由 可知 而 (課件演示，學生發(fā)現(xiàn)) 所以 于是可得： (三) 設(shè)計意圖：結(jié)合幾何畫板的演示利用同一點的坐標變換，導(dǎo)出公式。 由公式(一)(三)可以看出，角 角 相等。即： . 公式(一)(二)(三)都叫誘導(dǎo)公式。利用誘導(dǎo)公式可以求三角函數(shù)式的值或化簡三角函數(shù)式。 設(shè)計意圖：結(jié)合學過的公式(一)(二)，發(fā)現(xiàn)特點，總結(jié)公式。 1. 練習 (1) 設(shè)計意圖：利用公式解決問題，發(fā)現(xiàn)新問題，小組研究討論，得到新公式。 (學生板演，老師點評，用彩色粉筆強調(diào)重點，引導(dǎo)學生總結(jié)公式。) 三.例題 例3：求下列各三角函數(shù)值： (1) (2) (3) (4) 例4：化簡 設(shè)計意圖：利用公式解決問題。 練習： (1) (2) (學生板演，師生點評) 設(shè)計意圖：觀察公式特點，選擇公式解決問題。 四.課堂小結(jié)：將任意角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化化歸，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，培養(yǎng)了學生分析問題、解決問題的能力，熟練應(yīng)用解決問題。 五.課后作業(yè)：課后練習A、B組 六.課后反思與交流 很榮幸大家來聽我的課，通過這課，我學習到如下的東西： 1.要認真的研讀新課標，對教學的目標，重難點把握要到位 2.注意板書設(shè)計，注重細節(jié)的東西，語速需要改正 3.進一步的學習網(wǎng)頁制作，讓你的網(wǎng)頁更加的完善，學生更容易操作 4.盡可能讓你的學生自主提出問題，自主的思考，能夠化被動學習為主動學習，充分享受學習數(shù)學的樂趣 5.上課的生動化，形象化需要加強 聽課者評價： 1.評議者：網(wǎng)絡(luò)輔助教學，起到了很好的效果;教態(tài)大方，作為新教師，開設(shè)校際課，勇氣可嘉!建議：感覺到老師有點緊張，其實可以放開點的，相信效果會更好的!重點不夠清晰，有引導(dǎo)數(shù)學時，最好值有個側(cè)重點;網(wǎng)絡(luò)設(shè)計上，網(wǎng)頁上公開的推導(dǎo)公式為上，留有更大的空間讓學生來思考。 2.評議者：網(wǎng)絡(luò)教學效果良好，給學生自主思考，學習的空間發(fā)揮，教學設(shè)計得好;建議：課堂講課聲音，語調(diào)可以更有節(jié)奏感一些，抑揚頓挫應(yīng)注意課堂例題練習可以多兩題。 3.評議者：學科網(wǎng)絡(luò)平臺的使用;建議：應(yīng)重視引導(dǎo)學生將一些唾手可得的有用結(jié)論總結(jié)出來，并形成自我的經(jīng)驗。 4.評議者：引導(dǎo)學生通過網(wǎng)絡(luò)進行探究。 建議：課件制作在線測評部分，建議不能重復(fù)選擇，應(yīng)全部做完后，顯示結(jié)果，再重復(fù)測試;多提問學生。 ( 1)給學生思考的時間較長，語調(diào)相對平緩，總結(jié)時，給學生一些激勵的語言更好 ( 2)這樣子的'教學可以提高上課效率，讓學生更多的時間思考 ( 3)網(wǎng)絡(luò)平臺的使用，使得學生的參與度明顯提高，存在問題：1.公式對稱性的誘導(dǎo)，點與點的對稱的誘導(dǎo)，終邊的關(guān)系的誘導(dǎo)，要進一步的修正;2.公式的概括要注意引導(dǎo)學生怎么用，學習這個誘導(dǎo)公式的作用 ( 4)給學生答案，這個網(wǎng)頁要進一步的修正，答案能否不要一點就出來 ( 5)1.板書設(shè)計要進一步的加強，2.語速相對是比較快的3.練習量比較少 ( 6)讓學生多探究，課堂會更熱鬧 ( 7)注意引入的過程要帶有目的，帶著問題來教學，學生帶著問題來學習 ( 8)教學模式相對簡單重復(fù) ( 9)思路較為清晰，規(guī)范化的推理 （一）教學具準備 直尺，投影儀． （二）教學目標 1．掌握，的定義域、值域、最值、單調(diào)區(qū)間． 2．會求含有、的三角式的定義域． （三）教學過程 1．設(shè)置情境 研究函數(shù)就是要討論一些性質(zhì)，，是函數(shù)，我們當然也要探討它的一些屬性．本節(jié)課，我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最基本的兩條性質(zhì)． 2．探索研究 師：同學們回想一下，研究一個函數(shù)常要研究它的哪些性質(zhì)？ 生：定義域、值域，單調(diào)性、奇偶性、等等． 師：很好，今天我們就來探索，兩條最基本的性質(zhì)定義域、值域．（板書課題正、余弦函數(shù)的定義域、值域．） 師：請同學看投影，大家仔細觀察一下正弦、余弦曲線的圖像． 師：請同學思考以下幾個問題： （1）正弦、余弦函數(shù)的定義域是什么？ （2）正弦、余弦函數(shù)的值域是什么？ （3）他們最值情況如何？ （4）他們的正負值區(qū)間如何分？ （5）的解集如何？ 師生一起歸納得出： （1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是． （2）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是即，，稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性． （3）取最大值、最小值情況： 正弦函數(shù)，當時，（）函數(shù)值取最大值1，當時，（）函數(shù)值取最小值－1． 余弦函數(shù)，當，（）時，函數(shù)值取最大值1，當，（）時，函數(shù)值取最小值－1． （4）正負值區(qū)間： （） （5）零點：（） （） 3．例題分析 【例1】求下列函數(shù)的定義域、值域： （1）；（2）；（3）． 解：（1）， （2）由（） 又∵，∴ ∴定義域為（），值域為． （3）由（），又由 ∴ ∴定義域為（），值域為． 指出：求值域應(yīng)注意用到或有界性的條件． 【例2】求下列函數(shù)的最大值，并求出最大值時的集合： （1），；（2），； （3）（4）． 解：（1）當，即（）時，取得最大值 ∴函數(shù)的最大值為2，取最大值時的集合為． （2）當時，即（）時，取得最大值． ∴函數(shù)的最大值為1，取最大值時的集合為． （3）若，，此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù)． 若時，∴時，即（）時，函數(shù)取最大值， ∴時函數(shù)的最大值為，取最大值時的集合為． （4）若，則當時，函數(shù)取得最大值． 若，則，此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù)． 若，當時，函數(shù)取得最大值． ∴當時，函數(shù)取得最大值，取得最大值時的集合為；當時，函數(shù)取得最大值，取得最大值時的集合為，當時，函數(shù)無最大值． 指出：對于含參數(shù)的'最大值或最小值問題，要對或的系數(shù)進行討論． 思考：此例若改為求最小值，結(jié)果如何？ 【例3】要使下列各式有意義應(yīng)滿足什么條件？ （1）；（2）． 解：（1）由， ∴當時，式子有意義． （2）由，即 ∴當時，式子有意義． 4．演練反饋（投影） （1）函數(shù)，的簡圖是（） （2）函數(shù)的最大值和最小值分別為（） A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4 （3）函數(shù)的最小值是（） A．B．－2 C．D． （4）如果與同時有意義，則的取值范圍應(yīng)為（） A．B．C．D．或 （5）與都是增函數(shù)的區(qū)間是（） A．，B．， C．，D．， （6）函數(shù)的定義域________，值域________，時的集合為_________． 參考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．；； 5．總結(jié)提煉 （1），的定義域均為． （2）、的值域都是 （3）有界性： （4）最大值或最小值都存在，且取得極值的集合為無限集． （5）正負敬意及零點，從圖上一目了然． （6）單調(diào)區(qū)間也可以從圖上看出． （四）板書設(shè)計 1．定義域 2．值域 3．最值 4．正負區(qū)間 5．零點 例1 例2 例3 課堂練習 課后思考題：求函數(shù)的最大值和最小值及取最值時的集合 提示： 教學目標：1．進一步理解線性規(guī)劃的概念；會解簡單的線性規(guī)劃問題； 2．在運用建模和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法分析、解決問題的過程中；提高解決問題的能力； 3．進一步提高學生的合作意識和探究意識。 教學重點：線性規(guī)劃的概念及其解法 教學難點： 代數(shù)問題幾何化的過程 教學方法：啟發(fā)探究式 教學手段：運用多媒體技術(shù) 教學過程：1．實際問題引入。 問題一：小王和小李合租了一輛小轎車外出旅游.小王駕車平均速度為每小時70公里，平均耗油量為每小時6公升；小李駕車平均速度為每小時50公里，平均耗油量為每小時4公升.現(xiàn)知道油箱內(nèi)油量為60公升，兩人駕車時間累計不能超過12小時.問小王和小李分別駕車多少時間時，行駛路程最遠？ 2．探究和討論下列問題。 (1)實際問題轉(zhuǎn)化為一個怎樣的數(shù)學問題？ (2)滿足不等式組①的條件的點構(gòu)成的區(qū)域如何表示？ (3)關(guān)于x、y的一個表達式z＝70x＋50y的幾何意義是什么？ (4)z的幾何意義是什么？ (5)z的最大值如何確定？ 讓學生達成以下共識：小王駕車時間x和小李駕車時間y受到時間(12小時)和油量(60公升)的限制，即 x＋y≤12 6x＋4y≤60 ① x≥0 y≥0 行駛路程可以表示成關(guān)于x、y的一個表達式：z＝70x＋50y 由數(shù)形結(jié)合可知：經(jīng)過點B(6，6)的直線所對應(yīng)的z最大. 則zmax＝6×70＋6×50＝720 結(jié)論：小王和小李分別駕車6小時時，行駛路程最遠為720公里. 解題反思： 問題解決過程中體現(xiàn)了那些重要的數(shù)學思想？ 3．線性規(guī)劃的有關(guān)概念。 什么是“線性規(guī)劃問題”？涉及約束條件、線性約束條件、目標函數(shù)、線性目標函數(shù)、可行解、可行域和最優(yōu)解等概念. 4．進一步探究線性規(guī)劃問題的解。 問題二：若小王和小李駕車平均速度為每小時60公里和40公里，其它條件不變，問小王和小李分別駕車多少時間時，行駛路程最遠？ 要求：請你寫出約束條件、目標函數(shù)，作出可行域，求出最優(yōu)解。 問題三：如果把不等式組①中的兩個“≤”改為“≥”，是否存在最優(yōu)解？ 5．小結(jié)。 (1)數(shù)學知識；(2)數(shù)學思想。 6．作業(yè)。 (1)閱讀教材：P.60-63； (2)課后練習：教材P.65-2，3； (3)在自己生活中尋找一個簡單的線性規(guī)劃問題，寫出約束條件，確定目標函數(shù)，作出可行域，并求出最優(yōu)解。 《一個數(shù)列的研究》教學設(shè)計 教學目標： 1．進一步理解和掌握數(shù)列的有關(guān)概念和性質(zhì)； 2．在對一個數(shù)列的探究過程中，提高提出問題、分析問題和解決問題的能力； 3．進一步提高問題探究意識、知識應(yīng)用意識和同伴合作意識。 教學重點： 問題的提出與解決 教學難點： 如何進行問題的探究 教學方法： 啟發(fā)探究式 教學過程： 問題：已知{an}是首項為1，公比為 的無窮等比數(shù)列。對于數(shù)列{an}，提出你的問題，并進行研究，你能得到一些什么樣的結(jié)論？ 研究方向提示： 1．數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列，可以從等比數(shù)列角度來進行研究； 2．研究所給數(shù)列的項之間的關(guān)系； 3．研究所給數(shù)列的子數(shù)列； 4．研究所給數(shù)列能構(gòu)造的新數(shù)列； 5．數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以從函數(shù)性質(zhì)角度來進行研究； 6．研究所給數(shù)列與其它知識的聯(lián)系（組合數(shù)、復(fù)數(shù)、圖形、實際意義等）。 針對學生的研究情況，對所提問題進行歸類，選擇部分類型問題共同進行研究、分析與解決。 課堂小結(jié)： 1．研究一個數(shù)列可以從哪些方面提出問題并進行研究？ 2．你最喜歡哪位同學的研究？為什么？ 課后思考題： 1．將{an}推廣為一般的無窮等比數(shù)列：1，q，q2，…，qn－1，… ，上述一些研究結(jié)論會有什么變化？ 2．若將{an}改為等差數(shù)列：1，1＋d，2＋d，…，1＋(n－1)d，… ，是否可以進行類比研究？ 開展研究性學習，培養(yǎng)問題解決能力 一、對“研究性學習”和“問題解決”的認識 研究性學習是一種與接受性學習相對應(yīng)的學習方式，泛指學生主動探究問題的學習。研究性學習也可以說是一種學習活動：學生在教師指導(dǎo)下，在自己的學習生活和社會生活中選擇課題，以類似科學研究的方式去主動地獲取知識、應(yīng)用知識、解決問題。 “問題解決”(problem solving)是美國數(shù)學教育界在二十世紀八十年代的主要口號，即認為應(yīng)當以“問題解決”作為學校數(shù)學教育的中心。 問題解決能力是一種重要的數(shù)學能力，其核心是“創(chuàng)新精神”與“實踐能力”。在數(shù)學教學活動中開展研究性學習是培養(yǎng)問題解決能力的主要途徑。 二、“問題解決”課堂教學模式的建構(gòu)與實踐 以研究性學習活動為載體，以培養(yǎng)問題解決能力為核心的課堂教學模式（以下簡稱為“問題解決”課堂教學模式）試圖通過問題情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學生的求知欲，以獨立思考和交流討論的形式，發(fā)現(xiàn)、分析并解決問題，培養(yǎng)處理信息、獲取新知、應(yīng)用知識的能力，提高合作意識、探究意識和創(chuàng)新意識。 （一）關(guān)于“問題解決”課堂教學模式 通過實施“問題解決”課堂教學模式，希望能夠達到以下的功能目標：學習發(fā)現(xiàn)問題的`方法，開掘創(chuàng)造性思維潛力，培養(yǎng)主動參與、團結(jié)協(xié)作精神，增進師生、同伴之間的情感交流，形成自覺運用數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學思想方法分析問題、解決問題的能力和意識。 （二）數(shù)學學科中的問題解決能力的培養(yǎng)目標 數(shù)學問題解決能力培養(yǎng)的目標可以有不同層次的要求：會審題，會建模，會轉(zhuǎn)化，會歸類，會反思，會編題。 （三）“問題解決”課堂教學模式的教學流程 （四）“問題解決”課堂教學評價標準 1. 教學目標的確定； 2. 教學方法的選擇； 3. 問題的選擇； 4. 師生主體意識的體現(xiàn)； 5.教學策略的運用。 （五）了解學生的數(shù)學問題解決能力的途徑 （六）開展研究性學習活動對教師的能力要求 教學目標： 1、理解并掌握曲線在某一點處的切線的概念； 2、理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法； 3、理解切線概念實際背景，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力和培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化 問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想。 教學重點： 理解并掌握曲線在一點處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法。 教學難點： 用“無限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點處切線的斜率。 教學過程： 一、問題情境 1、問題情境。 如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？ 如果將點P附近的曲線放大，那么就會發(fā)現(xiàn)，曲線在點P附近看上去有點像是直線。 如果將點P附近的曲線再放大，那么就會發(fā)現(xiàn)，曲線在點P附近看上去幾乎成了直線。事實上，如果繼續(xù)放大，那么曲線在點P附近將逼近一條確定的'直線，該直線是經(jīng)過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線。 因此，在點P附近我們可以用這條直線來代替曲線，也就是說，點P附近，曲線可以看出直線（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲）。 2、探究活動。 如圖所示，直線l1，l2為經(jīng)過曲線上一點P的兩條直線， （1）試判斷哪一條直線在點P附近更加逼近曲線； （2）在點P附近能作出一條比l1，l2更加逼近曲線的直線l3嗎？ （3）在點P附近能作出一條比l1，l2，l3更加逼近曲線的直線嗎？ 二、建構(gòu)數(shù)學 切線定義： 如圖，設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點，直線PQ稱為曲線的割線。 隨著點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近逼近曲線C，當點Q無限逼近點P時，直線PQ最終就成為經(jīng)過點P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點P處的切線。這種方法叫割線逼近切線。 思考：如上圖，P為已知曲線C上的一點，如何求出點P處的切線方程？ 三、數(shù)學運用 例1 試求在點（2，4）處的切線斜率。 解法一 分析：設(shè)P（2，4），Q（xQ，f（xQ））， 則割線PQ的斜率為： 當Q沿曲線逼近點P時，割線PQ逼近點P處的切線，從而割線斜率逼近切線斜率； 當Q點橫坐標無限趨近于P點橫坐標時，即xQ無限趨近于2時，kPQ無限趨近于常數(shù)4。 從而曲線f（x）＝x2在點（2，4）處的切線斜率為4。 解法二 設(shè)P（2，4），Q（xQ，xQ2），則割線PQ的斜率為： 當？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數(shù)4，從而曲線f（x）＝x2，在點（2，4）處的切線斜率為4。 練習 試求在x＝1處的切線斜率。 解：設(shè)P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1），則割線PQ的斜率為： 當？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數(shù)2，從而曲線f（x）＝x2＋1在x＝1處的切線斜率為2。 小結(jié) 求曲線上一點處的切線斜率的一般步驟： （1）找到定點P的坐標，設(shè)出動點Q的坐標； （2）求出割線PQ的斜率； （3）當時，割線逼近切線，那么割線斜率逼近切線斜率。 思考 如上圖，P為已知曲線C上的一點，如何求出點P處的切線方程？ 解 設(shè) 所以，當無限趨近于0時，無限趨近于點處的切線的斜率。 變式訓練 1。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程； 2。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程； 3。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。 課堂練習 已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。 四、回顧小結(jié) 1、曲線上一點P處的切線是過點P的所有直線中最接近P點附近曲線的直線，則P點處的變化趨勢可以由該點處的切線反映（局部以直代曲）。 2、根據(jù)定義，利用割線逼近切線的方法， 可以求出曲線在一點處的切線斜率和方程。 五、課外作業(yè) 第一章：空間幾何體 1.1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征 一、教學目標 1．知識與技能 （1）通過實物操作，增強學生的直觀感知。 （2）能根據(jù)幾何結(jié)構(gòu)特征對空間物體進行分類。 （3）會用語言概述棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征。 （4）會表示有關(guān)于幾何體以及柱、錐、臺的分類。 2．過程與方法 （1）讓學生通過直觀感受空間物體，從實物中概括出柱、錐、臺、球的幾何結(jié)構(gòu)特征。 （2）讓學生觀察、討論、歸納、概括所學的知識。 3．情感態(tài)度與價值觀 （1）使學生感受空間幾何體存在于現(xiàn)實生活周圍，增強學生學習的積極性，同時提高學生的觀察能力。 （2）培養(yǎng)學生的空間想象能力和抽象括能力。 二、教學重點、難點 重點：讓學生感受大量空間實物及模型、概括出柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征。 難點：柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征的概括。 三、教學用具 （1）學法：觀察、思考、交流、討論、概括。 （2）實物模型、投影儀 四、教學思路 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1．教師提出問題：在我們生活周圍中有不少有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑的幾何結(jié)構(gòu)特征如何？引導(dǎo)學生回憶，舉例和相互交流。教師對學生的活動及時給予評價。 2．所舉的建筑物基本上都是由這些幾何體組合而成的，（展示具有柱、錐、臺、球結(jié)構(gòu)特征的空間物體），你能通過觀察。根據(jù)某種標準對這些空間物體進行分類嗎？這是我們所要學習的內(nèi)容。 （二）、研探新知 1．引導(dǎo)學生觀察物體、思考、交流、討論，對物體進行分類，分辯棱柱、圓柱、棱錐。 2．觀察棱柱的幾何物件以及投影出棱柱的圖片，它們各自的特點是什么？它們的共同特點是什么？ 3．組織學生分組討論，每小組選出一名同學發(fā)表本組討論結(jié)果。在此基礎(chǔ)上得出棱柱的主要結(jié)構(gòu)特征。（1）有兩個面互相平行；（2）其余各面都是平行四邊形；（3）每相鄰兩上四邊形的公共邊互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教師與學生結(jié)合圖形共同得出棱柱相關(guān)概念以及棱柱的表示。 5．提出問題：各種這樣的棱柱，主要有什么不同？可不可以根據(jù)不同對棱柱分類？請列舉身邊具有已學過的幾何結(jié)構(gòu)特征的物體，并說出組成這些物體的.幾何結(jié)構(gòu)特征？它們由哪些基本幾何體組成的？ 6．以類似的方法，讓學生思考、討論、概括出棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，并得出相關(guān)的概念，分類以及表示。 7．讓學生觀察圓柱，并實物模型演示，如何得到圓柱，從而概括出圓標的概念以及相關(guān)的概念及圓柱的表示。 8．引導(dǎo)學生以類似的方法思考圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征，以及相關(guān)概念和表示，借助實物模型演示引導(dǎo)學生思考、討論、概括。 9．教師指出圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體，棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體，圓錐與棱錐統(tǒng)稱為錐體。 10．現(xiàn)實世界中，我們看到的物體大多由具有柱、錐、臺、球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組合而成。請列舉身邊具有已學過的幾何結(jié)構(gòu)特征的物體，并說出組成這些物體的幾何結(jié)構(gòu)特征？它們由哪些基本幾何體組成的？ （三）質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維，教師提出問題，讓學生思考。 1．有兩個面互相平行，其余后面都是平行四邊形的幾何體是不是棱柱（舉反例說明，如圖） 2．棱柱的何兩個平面都可以作為棱柱的底面嗎？ 3．課本P8，習題1.1A組第1題。 4．圓柱可以由矩形旋轉(zhuǎn)得到，圓錐可以由直角三角形旋轉(zhuǎn)得到，圓臺可以由什么圖形旋轉(zhuǎn)得到？如何旋轉(zhuǎn)？ 5．棱臺與棱柱、棱錐有什么關(guān)系？圓臺與圓柱、圓錐呢？ 四、鞏固深化 練習：課本P7練習1、2（1）（2） 課本P8習題1.1第2、3、4題 五、歸納整理 由學生整理學習了哪些內(nèi)容 六、布置作業(yè) 課本P8練習題1.1B組第1題 課外練習課本P8習題1.1B組第2題 1.2.1空間幾何體的三視圖（1課時） 一、教學目標 1．知識與技能 （1）掌握畫三視圖的基本技能 （2）豐富學生的空間想象力 2．過程與方法 主要通過學生自己的親身實踐，動手作圖，體會三視圖的作用。 3．情感態(tài)度與價值觀 （1）提高學生空間想象力 （2）體會三視圖的作用 二、教學重點、難點 重點：畫出簡單組合體的三視圖 難點：識別三視圖所表示的空間幾何體 三、學法與教學用具 1．學法：觀察、動手實踐、討論、類比 2．教學用具：實物模型、三角板 四、教學思路 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭開課題 “橫看成嶺側(cè)看成峰”，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，要比較真實反映出物體，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學習空間幾何體的三視圖。 在初中，我們已經(jīng)學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖（正視圖、側(cè)視圖、俯視圖），你能畫出空間幾何體的三視圖嗎？ （二）實踐動手作圖 1．講臺上放球、長方體實物，要求學生畫出它們的三視圖，教師巡視，學生畫完后可交流結(jié)果并討論; 2．教師引導(dǎo)學生用類比方法畫出簡單組合體的三視圖 （1）畫出球放在長方體上的三視圖 （2）畫出礦泉水瓶（實物放在桌面上）的三視圖 學生畫完后，可把自己的作品展示并與同學交流，總結(jié)自己的作圖心得。 作三視圖之前應(yīng)當細心觀察，認識了它的基本結(jié)構(gòu)特征后，再動手作圖。 3．三視圖與幾何體之間的相互轉(zhuǎn)化。 （1）投影出示圖片（課本P10，圖1.2-3） 請同學們思考圖中的三視圖表示的幾何體是什么？ （2）你能畫出圓臺的三視圖嗎？ （3）三視圖對于認識空間幾何體有何作用？你有何體會？ 教師巡視指導(dǎo)，解答學生在學習中遇到的困難，然后讓學生發(fā)表對上述問題的看法。 4．請同學們畫出1.2-4中其他物體表示的空間幾何體的三視圖，并與其他同學交流。 （三）鞏固練習 課本P12練習1、2P18習題1.2A組1 （四）歸納整理 請學生回顧發(fā)表如何作好空間幾何體的三視圖 （五）課外練習 1．自己動手制作一個底面是正方形，側(cè)面是全等的三角形的棱錐模型，并畫出它的三視圖。 2．自己制作一個上、下底面都是相似的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形的棱臺模型，并畫出它的三視圖。 1.2.2空間幾何體的直觀圖（1課時） 一、教學目標 1．知識與技能 （1）掌握斜二測畫法畫水平設(shè)置的平面圖形的直觀圖。 （2）采用對比的方法了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方法的各自特點。 2．過程與方法 學生通過觀察和類比，利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖。 3．情感態(tài)度與價值觀 （1）提高空間想象力與直觀感受。 （2）體會對比在學習中的作用。 （3）感受幾何作圖在生產(chǎn)活動中的應(yīng)用。 二、教學重點、難點 重點、難點：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖。 三、學法與教學用具 1．學法：學生通過作圖感受圖形直觀感，并自然采用斜二測畫法畫空間幾何體的過程。 2．教學用具：三角板、圓規(guī) 四、教學思路 （一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1．我們都學過畫畫，這節(jié)課我們畫一物體：圓柱 把實物圓柱放在講臺上讓學生畫。 2．學生畫完后展示自己的結(jié)果并與同學交流，比較誰畫的效果更好，思考怎樣才能畫好物體的直觀圖呢？這是我們這節(jié)主要學習的內(nèi)容。 （二）研探新知 1．例1，用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖，由學生閱讀理解，并思考斜二測畫法的關(guān)鍵步驟，學生發(fā)表自己的見解，教師及時給予點評。 畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點的位置的畫法。強調(diào)斜二測畫法的步驟。 練習反饋 根據(jù)斜二測畫法，畫出水平放置的正五邊形的直觀圖，讓學生獨立完成后，教師檢查。 2．例2，用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖 教師引導(dǎo)學生與例1進行比較，與畫水平放置的多邊形的直觀圖一樣，畫水平放置的圓的直觀圖，也是要先畫出一些有代表性的點，由于不能像多邊那樣直接以頂點為代表點，因此需要自己構(gòu)造出一些點。 教師組織學生思考、討論和交流，如何構(gòu)造出需要的一些點，與學生共同完成例2并詳細板書畫法。 3．探求空間幾何體的直觀圖的畫法 （1）例3，用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體ABCD-A’B’C’D’的直觀圖。 教師引導(dǎo)學生完成，要注意對每一步驟提出嚴格要求，讓學生按部就班地畫好每一步，不能敷衍了事。 （2）投影出示幾何體的三視圖、課本P15圖1.2-9，請說出三視圖表示的幾何體？并用斜二測畫法畫出它的直觀圖。教師組織學生思考，討論和交流完成，教師巡視幫不懂的同學解疑，引導(dǎo)學生正確把握圖形尺寸大小之間的關(guān)系。 4．平行投影與中心投影 投影出示課本P17圖1.2-12，讓學生觀察比較概括在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形的各自特點。 5．鞏固練習，課本P16練習1（1），2，3，4 三、歸納整理 學生回顧斜二測畫法的關(guān)鍵與步驟 四、作業(yè) 1．書畫作業(yè)，課本P17練習第5題 2．課外思考課本P16，探究（1）（2） 一、教學目標 【知識與技能】 掌握三角函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)值的取值范圍。 【過程與方法】 經(jīng)歷三角函數(shù)的單調(diào)性的探索過程，提升邏輯推理能力。 【情感態(tài)度價值觀】 在猜想計算的過程中，提高學習數(shù)學的興趣。 二、教學重難點 【教學重點】 三角函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)值的取值范圍。 【教學難點】 探究三角函數(shù)的`單調(diào)性以及三角函數(shù)值的取值范圍過程。 三、教學過程 （一）引入新課 提出問題：如何研究三角函數(shù)的單調(diào)性 （四）小結(jié)作業(yè) 提問：今天學習了什么？ 引導(dǎo)學生回顧：基本不等式以及推導(dǎo)證明過程。 課后作業(yè)： 思考如何用三角函數(shù)單調(diào)性比較三角函數(shù)值的大小。 一、教學目標 1.知識與技能 (1)掌握斜二測畫法畫水平設(shè)置的平面圖形的直觀圖。 (2)采用對比的方法了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方法的各自特點。 2.過程與方法 學生通過觀察和類比，利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖。 3.情感態(tài)度與價值觀 (1)提高空間想象力與直觀感受。 (2)體會對比在學習中的作用。 (3)感受幾何作圖在生產(chǎn)活動中的應(yīng)用。 二、教學重點、難點 重點、難點：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖。 三、學法與教學用具 1.學法：學生通過作圖感受圖形直觀感，并自然采用斜二測畫法畫空間幾何體的過程。 2.教學用具：三角板、圓規(guī) 四、教學思路 (一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 1.我們都學過畫畫，這節(jié)課我們畫一物體：圓柱 把實物圓柱放在講臺上讓學生畫。 2.學生畫完后展示自己的結(jié)果并與同學交流，比較誰畫的效果更好，思考怎樣才能畫好物體的直觀圖呢?這是我們這節(jié)主要學習的內(nèi)容。 (二)研探新知 1.例1，用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖，由學生閱讀理解，并思考斜二測畫法的關(guān)鍵步驟，學生發(fā)表自己的見解，教師及時給予點評。 畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點的位置，因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點的位置的畫法。強調(diào)斜二測畫法的步驟。 練習反饋 根據(jù)斜二測畫法，畫出水平放置的正五邊形的直觀圖，讓學生獨立完成后，教師檢查。 2.例2，用斜二測畫法畫水平放置的圓的`直觀圖 教師引導(dǎo)學生與例1進行比較，與畫水平放置的多邊形的直觀圖一樣，畫水平放置的圓的直觀圖，也是要先畫出一些有代表性的點，由于不能像多邊那樣直接以頂點為代表點，因此需要自己構(gòu)造出一些點。 教師組織學生思考、討論和交流，如何構(gòu)造出需要的一些點，與學生共同完成例2并詳細板書畫法。 3.探求空間幾何體的直觀圖的畫法 (1)例3，用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體ABCD-A’B’C’D’的直觀圖。 教師引導(dǎo)學生完成，要注意對每一步驟提出嚴格要求，讓學生按部就班地畫好每一步，不能敷衍了事。 (2)投影出示幾何體的三視圖、課本P15圖1.2-9，請說出三視圖表示的幾何體?并用斜二測畫法畫出它的直觀圖。教師組織學生思考，討論和交流完成，教師巡視幫不懂的同學解疑，引導(dǎo)學生正確把握圖形尺寸大小之間的關(guān)系。 4.平行投影與中心投影 投影出示課本P17圖1.2-12，讓學生觀察比較概括在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形的各自特點。 5.鞏固練習，課本P16練習1(1)，2，3，4 三、歸納整理 學生回顧斜二測畫法的關(guān)鍵與步驟 四、作業(yè) 1.書畫作業(yè)，課本P17練習第5題 2.課外思考課本P16，探究(1)(2) 教學目標： （1）了解坐標法和解析幾何的意義，了解解析幾何的基本問題。 （2）進一步理解曲線的方程和方程的曲線。 （3）初步掌握求曲線方程的方法。 （4）通過本節(jié)內(nèi)容的教學，培養(yǎng)學生分析問題和轉(zhuǎn)化的能力。 教學重點、難點： 求曲線的方程。 教學用具： 計算機。 教學方法： 啟發(fā)引導(dǎo)法，討論法。 教學過程： 【引入】 1、提問：什么是曲線的方程和方程的曲線。 學生思考并回答。教師強調(diào)。 2、坐標法和解析幾何的意義、基本問題。 對于一個幾何問題，在建立坐標系的基礎(chǔ)上，用坐標表示點；用方程表示曲線，通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線的性質(zhì)，這一研究幾何問題的方法稱為坐標法，這門科學稱為解析幾何。解析幾何的兩大基本問題就是： （1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程。 （2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)。 事實上，在前邊所學的直線方程的理論中也有這樣兩個基本問題。而且要先研究如何求出曲線方程，再研究如何用方程研究曲線。本節(jié)課就初步研究曲線方程的求法。 【問題】 如何根據(jù)已知條件，求出曲線的方程。 【實例分析】 例1：設(shè)、兩點的坐標是、(3，7)，求線段的垂直平分線的方程。 首先由學生分析：根據(jù)直線方程的知識，運用點斜式即可解決。 解法一：易求線段的中點坐標為(1，3)， 由斜率關(guān)系可求得l的斜率為 于是有 即l的方程為 ① 分析、引導(dǎo)：上述問題是我們早就學過的，用點斜式就可解決。可是，你們是否想過①恰好就是所求的嗎？或者說①就是直線的方程？根據(jù)是什么，有證明嗎？ （通過教師引導(dǎo)，是學生意識到這是以前沒有解決的問題，應(yīng)該證明，證明的依據(jù)就是定義中的兩條）。 證明：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解。 設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點，則 即 將上式兩邊平方，整理得 這說明點的坐標是方程的解。 （2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點。 設(shè)點的坐標是方程①的任意一解，則 到、的距離分別為 所以，即點在直線上。 綜合(1)、(2)，①是所求直線的方程。 至此，證明完畢。回顧上述內(nèi)容我們會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：在證明(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解中，設(shè)是線段的.垂直平分線上任意一點，最后得到式子，如果去掉腳標，這不就是所求方程嗎？可見，這個證明過程就表明一種求解過程，下面試試看： 解法二：設(shè)是線段的垂直平分線上任意一點，也就是點屬于集合 由兩點間的距離公式，點所適合的條件可表示為 將上式兩邊平方，整理得 果然成功，當然也不要忘了證明，即驗證兩條是否都滿足。顯然，求解過程就說明第一條是正確的（從這一點看，解法二也比解法一優(yōu)越一些）；至于第二條上邊已證。 這樣我們就有兩種求解方程的方法，而且解法二不借助直線方程的理論，又非常自然，還體現(xiàn)了曲線方程定義中點集與對應(yīng)的思想。因此是個好方法。 讓我們用這個方法試解如下問題： 例2：點與兩條互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)求點的軌跡方程。 分析：這是一個純粹的幾何問題，連坐標系都沒有。所以首先要建立坐標系，顯然用已知中兩條互相垂直的直線作坐標軸，建立直角坐標系。然后仿照例1中的解法進行求解。 求解過程略。 【概括總結(jié)】通過學生討論，師生共同總結(jié)： 分析上面兩個例題的求解過程，我們總結(jié)一下求解曲線方程的大體步驟： 首先應(yīng)有坐標系；其次設(shè)曲線上任意一點；然后寫出表示曲線的點集；再代入坐標；最后整理出方程，并證明或修正。說得更準確一點就是： （1）建立適當?shù)淖鴺讼担糜行驅(qū)崝?shù)對例如表示曲線上任意一點的坐標； （2）寫出適合條件的點的集合 ； （3）用坐標表示條件，列出方程； （4）化方程為最簡形式； （5）證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。 一般情況下，求解過程已表明曲線上的點的坐標都是方程的解；如果求解過程中的轉(zhuǎn)化都是等價的，那么逆推回去就說明以方程的解為坐標的點都是曲線上的點。所以，通常情況下證明可省略，不過特殊情況要說明。 上述五個步驟可簡記為：建系設(shè)點；寫出集合；列方程；化簡；修正。 下面再看一個問題： 例3：已知一條曲線在軸的上方，它上面的每一點到點的距離減去它到軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程。 【動畫演示】用幾何畫板演示曲線生成的過程和形狀，在運動變化的過程中尋找關(guān)系。 解：設(shè)點是曲線上任意一點，軸，垂足是（如圖2），那么點屬于集合 由距離公式，點適合的條件可表示為 ① 將①式移項后再兩邊平方，得 化簡得 由題意，曲線在軸的上方，所以，雖然原點的坐標(0，0)是這個方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程應(yīng)為，它是關(guān)于軸對稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點，如圖2中所示。 【練習鞏固】 題目：在正三角形內(nèi)有一動點，已知到三個頂點的距離分別為、、，且有，求點軌跡方程。 分析、略解：首先應(yīng)建立坐標系，以正三角形一邊所在的直線為一個坐標軸，這條邊的垂直平分線為另一個軸，建立直角坐標系比較簡單，如圖3所示。設(shè)、的坐標為、，則的坐標為，的坐標為。 根據(jù)條件，代入坐標可得 化簡得 ① 由于題目中要求點在三角形內(nèi)，所以，在結(jié)合①式可進一步求出、的范圍，最后曲線方程可表示為 【小結(jié)】師生共同總結(jié)： （1）解析幾何研究研究問題的方法是什么？ （2）如何求曲線的方程？ （3）請對求解曲線方程的五個步驟進行評價。各步驟的作用，哪步重要，哪步應(yīng)注意什么？ 【作業(yè)】課本第72頁練習1，2，3; 教學目標： 1、使學生了解角的形成，理解角的概念掌握角的各種表示法； 2、通過觀察、操作培養(yǎng)學生的觀察能力和動手操作能力。 3、使學生掌握度、分、秒的進位制,會作度、分、秒間的單位互化 4、采用自學與小組合作學習相結(jié)合的方法，培養(yǎng)學生主動參與、勇于探究的精神。 教學重點： 理解角的概念，掌握角的三種表示方法 教學難點： 掌握度、分、秒的進位制, ,會作度、分、秒間的單位互化 教學手段： 教具：電腦課件、實物投影、量角器 學具：量角器需測量的角 教學過程： 一、建立角的概念 （一）引入角（利用課件演示） 1、從生活中引入 提問： A、以前我們曾經(jīng)認識過角，那你們能從這兩個圖形中指出哪些地方是角嗎？ B、在我們的生活當中存在著許許多多的角。一起看一看。誰能從這些常用的物品中找出角？ 2、從射線引入 提問： A、昨天我們認識了射線，想從一點可以引出多少條射線？ B、如果從一點出發(fā)任意取兩條射線，那出現(xiàn)的是什么圖形？ C、哪兩條射線可以組成一個角？誰來指一指。 （二）認識角，總結(jié)角的定義 3、 過渡：角是怎么形成的呢？一起看 （1）、演示：老師在這畫上一個點，現(xiàn)在從這點出發(fā)引出一條射線，再從這點出發(fā)引出第二條射線。 提問：觀察從這點引出了幾條射線？此時所組成的圖形是什么圖形？ （2）、判斷下列哪些圖形是角。 （√） （×） （√） （×） （√） 為何第二幅和第四幅圖形不是角？（學生回答） 誰能用自己的話來概括一下怎樣組成的圖形叫做角？ 總結(jié)：有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角（angle） 角的第二定義：角也可以看做由一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形.如下圖中的角，可以看做射線OA繞端點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到OB所形成的我們把OA叫做角的始邊，OB叫做角的終邊. B 0 A 4、認識角的各部分名稱，明確頂點、邊的作用 （1）觀看角的圖形提問：這個點叫什么？這兩條射線叫什么？（學生邊說師邊標名稱） （2）角可以畫在本上、黑板上，那角的.位置是由誰決定的? （3）頂點可以確定角的位置，從頂點引出的兩條邊可以組成一個角。 5、學會用符號表示角 提問：那么,角的符號是什么?該怎么寫,怎么讀的呢?(電腦顯示) （1）可以標上三個大寫字母,寫作:∠ABC或∠CBA,讀作:角ABC或角CBA. （2）觀察這兩種方法,有什么特點?(字母B都在中間) （3）所以,在只有一個角的時候,我們還可以寫作: ∠B,讀作:角B （4）為了方便,有時我們還可以標上數(shù)字,寫作∠1,讀作:角1 （5）注:區(qū)別 “∠”和“<”的不同。請同學們指著用學具折出的一個角,訓練一下這三種讀法。 6、強調(diào)角的大小與兩邊張開的程度有關(guān)，與兩條邊的長短無關(guān)。 二、 角的度量 1、學習角的度量 （1）教學生認識量角器 (2) 認識了量角器，那怎樣使用它去測量角的度數(shù)呢？這部分知識請同學們合作學習。 提出要求：小組合作邊學習測量方法邊嘗試測量 第一個角，想想有幾種方法？ 1、要求合作學習探究、測量。 2、反饋匯報：學生邊演示邊復(fù)述過程 3、教師利用課件演示正確的操作過程，糾正學生中存在的問題。 4、歸納概括測量方法（兩重合一對） （1）用量角器的中心點與角的頂點重合 （2）零刻度線與角的一邊重合（可與內(nèi)零度刻度線重合；也可與外零度刻度線重合） （3）另一條邊所對的角的度數(shù)，就是這個角的度數(shù)。 5、小結(jié)：同一個角無論是用內(nèi)刻度量角，還是用外刻度量角，結(jié)果都一樣。 6、獨立練習測量角的度數(shù)（書做一做中第一題1，3與第二題） （1） 獨立測量，師注意查看學生中存在的問題。 （2） 課件演示糾正問題 三、度、分、秒的進位制及這些單位間的互化 為了更精細地度量角，我們引入更小的角度單位：分、秒.把1°的角等分成60份，每份叫做1分記作1′；把1′的角再等分成60份，每份叫做1秒的角，1秒記作1″. 1°=60′，1′=60″； 1′=（ ）°，1″=（ ）′. 例1 將57.32°用度、分、秒表示. 解：先把0.32°化為分， 0.32°=60′×0.32=19.2′. 再把0.2′化為秒， 0.2′=60″×0.2=12″. 所以 57.32″=57°19′12″. 例2 把10°6′36″用度表示. 解：先把36″化為分， 36″=（ ）′×36=0.6′ 6′+0.6′=6.6′. 再把6.6′化為度， 6.6′=（ ）°×6.6=0.11°. 所以 10°6′36″=10.11°. 四、鞏固練習 課本P122練習 五、總結(jié)：請大家回憶一下，今天都學了那些知識，通過學習你想說些什么？ 六、作業(yè)：課本P123 3、4.（1）（3）、5.（2）（4） 教學目標： 1.了解反函數(shù)的概念，弄清原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系. 2.會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù). 3.在嘗試、探索求反函數(shù)的過程中，深化對概念的認識，總結(jié)出求反函數(shù)的一般步驟，加深對函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及由特殊到一般等數(shù)學思想方法的認識. 4.進一步完善學生思維的深刻性，培養(yǎng)學生的逆向思維能力，用辯證的觀點分析問題，培養(yǎng)抽象、概括的能力. 教學重點：求反函數(shù)的方法. 教學難點：反函數(shù)的概念. 教學過程： 教學活動 設(shè)計意圖一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 1.復(fù)習提問 ①函數(shù)的概念 ②y=f(x)中各變量的意義 2.同學們在物理課學過勻速直線運動的位移和時間的函數(shù)關(guān)系，即S=vt和t=(其中速度v是常量)，在S=vt 中位移S是時間t的函數(shù);在t=中，時間t是位移S的函數(shù).在這種情況下，我們說t=是函數(shù)S=vt的反函數(shù).什么是反函數(shù)，如何求反函數(shù)，就是本節(jié)課學習的內(nèi)容. 3.板書課題 由實際問題引入新課，激發(fā)了學生學習興趣，展示了教學目標.這樣既可以撥去"反函數(shù)"這一概念的神秘面紗，也可使學生知道學習這一概念的必要性. 二、實例分析，組織探究 1.問題組一： (用投影給出函數(shù)與;與()的圖象) (1)這兩組函數(shù)的圖像有什么關(guān)系?這兩組函數(shù)有什么關(guān)系?(生答：與的圖像關(guān)于直線y=x對稱;與()的圖象也關(guān)于直線y=x對稱.是求一個數(shù)立方的運算，而是求一個數(shù)立方根的運算，它們互為逆運算.同樣，與()也互為逆運算.) (2)由，已知y能否求x? (3)是否是一個函數(shù)?它與有何關(guān)系? (4)與有何聯(lián)系? 2.問題組二： (1)函數(shù)y=2x 1(x是自變量)與函數(shù)x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數(shù)? (2)函數(shù)(x是自變量)與函數(shù)x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數(shù)? (3)函數(shù) ()的定義域與函數(shù)()的值域有什么關(guān)系? 3.滲透反函數(shù)的概念. (教師點明這樣的函數(shù)即互為反函數(shù)，然后師生共同探究其特點) 從學生熟知的函數(shù)出發(fā)，抽象出反函數(shù)的概念，符合學生的認知特點，有利于培養(yǎng)學生抽象、概括的能力. 通過這兩組問題，為反函數(shù)概念的引出做了鋪墊，利用舊知，引出新識，在"最近發(fā)展區(qū)"設(shè)計問題，使學生對反函數(shù)有一個直觀的粗略印象，為進一步抽象反函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ). 三、師生互動，歸納定義 1.(根據(jù)上述實例，教師與學生共同歸納出反函數(shù)的定義) 函數(shù)y=f(x)(x∈A) 中，設(shè)它的值域為 C.我們根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用 y 把 x 表示出來，得到 x = j (y) .如果對于y在C中的任何一個值，通過x = j (y)，x在A中都有的`值和它對應(yīng)，那么, x = j (y)就表示y是自變量，x是自變量 y 的函數(shù).這樣的函數(shù) x = j (y)(y ∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù).記作: .考慮到"用 x表示自變量, y表示函數(shù)"的習慣，將中的x與y對調(diào)寫成. 2.引導(dǎo)分析： 1)反函數(shù)也是函數(shù); 2)對應(yīng)法則為互逆運算; 3)定義中的"如果"意味著對于一個任意的函數(shù)y=f(x)來說不一定有反函數(shù); 4)函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是函數(shù)x=f(y)的值域、定義域; 5)函數(shù)y=f(x)與x=f(y)互為反函數(shù); 6)要理解好符號f; 7)交換變量x、y的原因. 3.兩次轉(zhuǎn)換x、y的對應(yīng)關(guān)系 (原函數(shù)中的自變量x與反函數(shù)中的函數(shù)值y 是等價的，原函數(shù)中的函數(shù)值y與反函數(shù)中的自變量x是等價的) 4.函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系 函數(shù)y=f(x) 函數(shù) 定義域 A C 值 域 C A 四、應(yīng)用解題，總結(jié)步驟 1.(投影例題) 【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù) (1)y=3x-1 (2)y=x 1 【例2】求函數(shù)的反函數(shù). (教師板書例題過程后，由學生總結(jié)求反函數(shù)步驟.) 2.總結(jié)求函數(shù)反函數(shù)的步驟: 1° 由y=f(x)反解出x=f(y). 2° 把x=f(y)中 x與y互換得. 3° 寫出反函數(shù)的定義域. (簡記為：反解、互換、寫出反函數(shù)的定義域)【例3】(1)有沒有反函數(shù)? (2)的反函數(shù)是________. (3)(x<0)的反函數(shù)是__________. 在上述探究的基礎(chǔ)上，揭示反函數(shù)的定義，學生有針對性地體會定義的特點，進而對定義有更深刻的認識，與自己的預(yù)設(shè)產(chǎn)生矛盾沖突，體會反函數(shù).在剖析定義的過程中，讓學生體會函數(shù)與方程、一般到特殊的數(shù)學思想，并對數(shù)學的符號語言有更好的把握. 通過動畫演示，表格對照，使學生對反函數(shù)定義從感性認識上升到理性認識，從而消化理解. 通過對具體例題的講解分析，在解題的步驟上和方法上為學生起示范作用，并及時歸納總結(jié)，培養(yǎng)學生分析、思考的習慣，以及歸納總結(jié)的能力. 題目的設(shè)計遵循了從了解到理解，從掌握到應(yīng)用的不同層次要求，由淺入深，循序漸進.并體現(xiàn)了對定義的反思理解.學生思考練習，師生共同分析糾正. 五、鞏固強化，評價反饋 1.已知函數(shù) y=f(x)存在反函數(shù)，求它的反函數(shù) y =f( x) (1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x) ( 3 ) y=(xR,且x) 2.已知函數(shù)f(x)=(xR,且x)存在反函數(shù)，求f(7)的值. 五、反思小結(jié)，再度設(shè)疑 本節(jié)課主要研究了反函數(shù)的定義，以及反函數(shù)的求解步驟.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象到底有什么特點呢?為什么具有這樣的特點呢?我們將在下節(jié)研究. (讓學生談一下本節(jié)課的學習體會，教師適時點撥) 進一步強化反函數(shù)的概念，并能正確求出反函數(shù).反饋學生對知識的掌握情況，評價學生對學習目標的落實程度.具體實踐中可采取同學板演、分組競賽等多種形式調(diào)動學生的積極性."問題是數(shù)學的心臟"學生帶著問題走進課堂又帶著新的問題走出課堂. 六、作業(yè) 習題2.4第1題，第2題 進一步鞏固所學的知識. 教學設(shè)計說明 "問題是數(shù)學的心臟".一個概念的形成是螺旋式上升的，一般要經(jīng)過具體到抽象，感性到理性的過程.本節(jié)教案通過一個物理學中的具體實例引入反函數(shù)，進而又通過若干函數(shù)的圖象進一步加以誘導(dǎo)剖析，最終形成概念. 反函數(shù)的概念是教學中的難點，原因是其本身較為抽象，經(jīng)過兩次代換，又采用了抽象的符號.由于沒有一一映射，逆映射等概念的支撐，使學生難以從本質(zhì)上去把握反函數(shù)的概念.為此，我們大膽地使用教材，把互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)系預(yù)先揭示，進而探究原因，尋找規(guī)律，程序是從問題出發(fā)，研究性質(zhì)，進而得出概念，這正是數(shù)學研究的順序，符合學生認知規(guī)律，有助于概念的建立與形成.另外，對概念的剖析以及習題的配備也很精當，通過不同層次的問題，滿足學生多層次需要，起到評價反饋的作用.通過對函數(shù)與方程的分析，互逆探索，動畫演示，表格對照、學生討論等多種形式的教學環(huán)節(jié)，充分調(diào)動了學生的探求欲，在探究與剖析的過程中，完善學生思維的深刻性，培養(yǎng)學生的逆向思維.使學生自然成為學習的主人。 內(nèi)容分析： 1、 集合是中學數(shù)學的一個重要的基本概念 在小學數(shù)學中，就滲透了集合的初步概念，到了初中，更進一步應(yīng)用集合的語言表述一些問題。例如，在代數(shù)中用到的有數(shù)集、解集等；在幾何中用到的有點集。至于邏輯，可以說，從開始學習數(shù)學就離不開對邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學習、工作中，也是認識問題、研究問題不可缺少的工具。這些可以幫助學生認識學習本章的意義，也是本章學習的基礎(chǔ)。 把集合的初步知識與簡易邏輯知識安排在高中數(shù)學的最開始，是因為在高中數(shù)學中，這些知識與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系，它們是學習、掌握和使用數(shù)學語言的基礎(chǔ) 例如，下一章講函數(shù)的概念與性質(zhì)，就離不開集合與邏輯。 本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實例入手，引出集合與集合的元素的概念，并且結(jié)合實例對集合的概念作了說明 然后，介紹了集合的常用表示方法，包括列舉法、描述法，還給出了畫圖表示集合的例子。 這節(jié)課主要學習全章的引言和集合的基本概念 學習引言是引發(fā)學生的學習興趣，使學生認識學習本章的意義 本節(jié)課的教學重點是集合的基本概念。 集合是集合論中的原始的、不定義的概念 在開始接觸集合的概念時，主要還是通過實例，對概念有一個初步認識 教科書給出的“一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集 ”這句話，只是對集合概念的描述性說明。 教學過程： 一、復(fù)習引入： 1．簡介數(shù)集的發(fā)展，復(fù)習最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)，質(zhì)數(shù)與和數(shù)； 2．教材中的章頭引言； 3．集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國數(shù)學家）（見附錄）； 4．“物以類聚”，“人以群分”； 5．教材中例子（P4）。 二、講解新課： 閱讀教材第一部分，問題如下： （1）有那些概念？是如何定義的？ （2）有那些符號？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有關(guān)概念：由一些數(shù)、一些點、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的.我們說，每一組對象的全體形成一個集合，或者說，某些指定的對象集在一起就成為一個集合，也簡稱集.集合中的每個對象叫做這個集合的元素. 定義：一般地，某些指定的對象集在一起就成為一個集合． 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合（簡稱集） （2）元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素 2、常用數(shù)集及記法 （1）非負整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負整數(shù)的集合，記作N，N={0,1,2,…} （2）正整數(shù)集：非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集，記作N*或N+，N*={1,2,3,…} （3）整數(shù)集：全體整數(shù)的集合，記作Z ,Z={0,±1,±2,…} （4）有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合，記作Q，Q={整數(shù)與分數(shù)} （5）實數(shù)集：全體實數(shù)的集合，記作R，R={數(shù)軸上所有點所對應(yīng)的數(shù)} 注：（1）自然數(shù)集與非負整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0 （2）非負整數(shù)集內(nèi)排除0的.集，記作N*或N+ Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示，例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z* 3、元素對于集合的隸屬關(guān)系 （1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A （2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A，記作aA 4、集合中元素的特性 （1）確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可 （2）互異性：集合中的元素沒有重復(fù) （3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序?qū)懗觯?/p> 5、⑴集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q…… 元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q…… ⑵“∈”的開口方向，不能把a∈A顛倒過來寫。 1.課題 填寫課題名稱（高中代數(shù)類課題） 2.教學目標 (1)知識與技能： 通過本節(jié)課的學習，掌握......知識，提高學生解決實際問題的能力； (2)過程與方法： 通過......（討論、發(fā)現(xiàn)、探究），提高......（分析、歸納、比較和概括）的能力； (3)情感態(tài)度與價值觀： 通過本節(jié)課的學習，增強學生的學習興趣，將數(shù)學應(yīng)用到實際生活中，增加學生數(shù)學學習的樂趣。 3.教學重難點 (1)教學重點：本節(jié)課的知識重點 (2)教學難點：易錯點、難以理解的知識點 4.教學方法（一般從中選擇3個就可以了） (1)討論法 (2)情景教學法 (3)問答法 (4)發(fā)現(xiàn)法 (5)講授法 5.教學過程 (1)導(dǎo)入 簡單敘述導(dǎo)入課題的方式和方法（例：復(fù)習、類比、情境導(dǎo)出本節(jié)課的課題） (2)新授課程（一般分為三個小步驟） ①簡單講解本節(jié)課基礎(chǔ)知識點（例：奇函數(shù)的定義）。 ②歸納總結(jié)該課題中的重點知識內(nèi)容，尤其對該注意的一些情況設(shè)置易錯點，進行強調(diào)。可以設(shè)計分組討論環(huán)節(jié)（分組判斷幾組函數(shù)圖像是否為奇函數(shù)，并歸納奇函數(shù)圖像的特點。設(shè)置定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)是否為奇函數(shù)的易錯點）。 ③拓展延伸，將所學知識拓展延伸到實際題目中，去解決實際生活中的問題。 （在新授課里面一定要表下出講課的大體流程，但是不必太過詳細。） (3)課堂小結(jié) 教師提問，學生回答本節(jié)課的收獲。 (4)作業(yè)提高 布置作業(yè)（盡量與實際生活相聯(lián)系，有所創(chuàng)新）。 6.教學板書 2.高中數(shù)學教案格式 一．課題（說明本課名稱） 二．教學目的（或稱教學要求，或稱教學目標，說明本課所要完成的教學任務(wù)） 三．課型（說明屬新授課，還是復(fù)習課） 四．課時（說明屬第幾課時） 五．教學重點（說明本課所必須解決的關(guān)鍵性問題） 六．教學難點（說明本課的學習時易產(chǎn)生困難和障礙的知識傳授與能力培養(yǎng)點） 七．教學方法要根據(jù)學生實際，注重引導(dǎo)自學，注重啟發(fā)思維 八．教學過程（或稱課堂結(jié)構(gòu)，說明教學進行的內(nèi)容、方法步驟） 九．作業(yè)處理（說明如何布置書面或口頭作業(yè)） 十．板書設(shè)計（說明上課時準備寫在黑板上的內(nèi)容） 十一．教具（或稱教具準備，說明輔助教學手段使用的工具） 十二．教學反思：（教者對該堂課教后的感受及學生的收獲、改進方法） 3.高中數(shù)學教案范文 【教學目標】 1.知識與技能 (1)理解等差數(shù)列的定義，會應(yīng)用定義判斷一個數(shù)列是否是等差數(shù)列： (2)賬務(wù)等差數(shù)列的通項公式及其推導(dǎo)過程： (3)會應(yīng)用等差數(shù)列通項公式解決簡單問題。 2.過程與方法 在定義的理解和通項公式的推導(dǎo)、應(yīng)用過程中，培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納能力和嚴密的邏輯思維的能力，體驗從特殊到一般，一般到特殊的認知規(guī)律，提高熟悉猜想和歸納的能力，滲透函數(shù)與方程的思想。 3.情感、態(tài)度與價值觀 通過教師指導(dǎo)下學生的自主學習、相互交流和探索活動，培養(yǎng)學生主動探索、用于發(fā)現(xiàn)的求知精神，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生感受到成功的喜悅。在解決問題的過程中，使學生養(yǎng)成細心觀察、認真分析、善于總結(jié)的良好習慣。 【教學重點】 ①等差數(shù)列的概念; ②等差數(shù)列的通項公式 【教學難點】 ①理解等差數(shù)列“等差”的特點及通項公式的含義; ②等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)過程. 【學情分析】 我所教學的學生是我校高一(7)班的學生(平行班學生)，經(jīng)過一年的高中數(shù)學學習，大部分學生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，但也有一部分學生的基礎(chǔ)較弱，學習數(shù)學的興趣還不是很濃，所以我在授課時注重從具體的生活實例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類學生的心理發(fā)展特點，從而促進思維能力的進一步發(fā)展。 【設(shè)計思路】 1、教法 ①啟發(fā)引導(dǎo)法：這種方法有利于學生對知識進行主動建構(gòu);有利于突出重點，突破難點;有利于調(diào)動學生的主動性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性. ②分組討論法：有利于學生進行交流，及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動學生的積極性. ③講練結(jié)合法：可以及時鞏固所學內(nèi)容，抓住重點，突破難點. 2、學法 引導(dǎo)學生首先從三個現(xiàn)實問題(數(shù)數(shù)問題、水庫水位問題、儲蓄問題)概括出數(shù)組特點并抽象出等差數(shù)列的概念;接著就等差數(shù)列概念的特點，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項公式;可以對各種能力的同學引導(dǎo)認識多元的推導(dǎo)思維方法. 【教學過程】 一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 1、從0開始，將5的倍數(shù)按從小到大的順序排列，得到的數(shù)列是什么? 2、水庫管理人員為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚.如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位(單位：m)組成一個什么數(shù)列? 3、我國現(xiàn)行儲蓄制度規(guī)定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本息計算下一期的利息.按照單利計算本利和的公式是：本利和=本金×(1+利率×存期).按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內(nèi)各年末的本利和(單位：元)組成一個什么數(shù)列? 教師：以上三個問題中的數(shù)蘊涵著三列數(shù). 學生： ①0，5，10，15，20，25，…. ②18，15.5，13，10.5，8，5.5. ③10072，10144，10216，10288，10360. (設(shè)置意圖：從實例引入,實質(zhì)是給出了等差數(shù)列的現(xiàn)實背景,目的是讓學生感受到等差數(shù)列是現(xiàn)實生活中大量存在的數(shù)學模型.通過分析,由特殊到一般，激發(fā)學生學習探究知識的自主性，培養(yǎng)學生的歸納能力. 二、觀察歸納，形成定義 ①0，5，10，15，20，25，…. ②18，15.5，13，10.5，8，5.5. ③10072，10144，10216，10288，10360. 思考1上述數(shù)列有什么共同特點? 思考2根據(jù)上數(shù)列的共同特點，你能給出等差數(shù)列的一般定義嗎? 思考3你能將上述的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學符號語言嗎? 教師：引導(dǎo)學生思考這三列數(shù)具有的共同特征，然后讓學生抓住數(shù)列的特征，歸納得出等差數(shù)列概念. 學生：分組討論，可能會有不同的答案：前數(shù)和后數(shù)的差符合一定規(guī)律;這些數(shù)都是按照一定順序排列的…只要合理教師就要給予肯定. 教師引導(dǎo)歸納出：等差數(shù)列的定義;另外，教師引導(dǎo)學生從數(shù)學符號角度理解等差數(shù)列的定義. (設(shè)計意圖：通過對一定數(shù)量感性材料的觀察、分析，提煉出感性材料的本質(zhì)屬性;使學生體會到等差數(shù)列的規(guī)律和共同特點;一開始抓住：“從第二項起，每一項與它的前一項的差為同一常數(shù)”，落實對等差數(shù)列概念的準確表達.) 三、舉一反三，鞏固定義 1、判定下列數(shù)列是否為等差數(shù)列?若是，指出公差d. (1)1,1,1,1,1; (2)1,0,1,0,1; (3)2,1,0,-1,-2; (4)4,7,10,13,16. 教師出示題目,學生思考回答.教師訂正并強調(diào)求公差應(yīng)注意的問題. 注意：公差d是每一項(第2項起)與它的前一項的差，防止把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒，而且公差可以是正數(shù)，負數(shù)，也可以為0. (設(shè)計意圖：強化學生對等差數(shù)列“等差”特征的理解和應(yīng)用). 2、思考4:設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=3n+1，該數(shù)列是等差數(shù)列嗎?為什么? (設(shè)計意圖：強化等差數(shù)列的.證明定義法) 四、利用定義，導(dǎo)出通項 1、已知等差數(shù)列：8，5，2，…，求第200項? 2、已知一個等差數(shù)列{an｝的首項是a1，公差是d，如何求出它的任意項an呢? 教師出示問題，放手讓學生探究，然后選擇列式具有代表性的上去板演或投影展示.根據(jù)學生在課堂上的具體情況進行具體評價、引導(dǎo)，總結(jié)推導(dǎo)方法，體會歸納思想以及累加求通項的方法;讓學生初步嘗試處理數(shù)列問題的常用方法. (設(shè)計意圖：引導(dǎo)學生觀察、歸納、猜想，培養(yǎng)學生合理的推理能力.學生在分組合作探究過程中，可能會找到多種不同的解決辦法，教師要逐一點評，并及時肯定、贊揚學生善于動腦、勇于創(chuàng)新的品質(zhì)，激發(fā)學生的創(chuàng)造意識.鼓勵學生自主解答，培養(yǎng)學生運算能力) 五、應(yīng)用通項，解決問題 1、判斷100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項?如果是，是第幾項? 2、在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a12=31，求a1，d和an. 3、求等差數(shù)列3,7,11，…的第4項和第10項 教師：給出問題，讓學生自己操練，教師巡視學生答題情況. 學生：教師叫學生代表總結(jié)此類題型的解題思路，教師補充：已知等差數(shù)列的首項和公差就可以求出其通項公式 (設(shè)計意圖：主要是熟悉公式,使學生從中體會公式與方程之間的聯(lián)系.初步認識“基本量法”求解等差數(shù)列問題.) 六、反饋練習：教材13頁練習1 七、歸納總結(jié)： 1、一個定義： 等差數(shù)列的定義及定義表達式 2、一個公式： 等差數(shù)列的通項公式 3、二個應(yīng)用： 定義和通項公式的應(yīng)用 教師：讓學生思考整理，找?guī)讉�代表發(fā)言，最后教師給出補充 (設(shè)計意圖：引導(dǎo)學生去聯(lián)想本節(jié)課所涉及到的各個方面，溝通它們之間的聯(lián)系，使學生能在新的高度上去重新認識和掌握基本概念，并靈活運用基本概念.) 【設(shè)計反思】 本設(shè)計從生活中的數(shù)列模型導(dǎo)入，有助于發(fā)揮學生學習的主動性，增強學生學習數(shù)列的興趣.在探索的過程中，學生通過分析、觀察，歸納出等差數(shù)列定義，然后由定義導(dǎo)出通項公式，強化了由具體到抽象，由特殊到一般的思維過程，有助于提高學生分析問題和解決問題的能力.本節(jié)課教學采用啟發(fā)方法，以教師提出問題、學生探討解決問題為途徑，以相互補充展開教學，總結(jié)科學合理的知識體系，形成師生之間的良性互動，提高課堂教學效率. 【課題名稱】 《等差數(shù)列》的導(dǎo)入 【授課年級】 高中二年級 【教學重點】 理解等差數(shù)列的概念，能夠運用等差數(shù)列的定義判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列。 【教學難點】 等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列“等差”特點的理解， 【教具準備】多媒體課件、投影儀 【三維目標】 ㈠知識目標： 了解公差的概念，明確一個等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個等差數(shù)列是否是一個等差數(shù)列； ㈡能力目標： 通過尋找等差數(shù)列的共同特征，培養(yǎng)學生的觀察力以及歸納推理的能力； ㈢情感目標： 通過對等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學生的觀察、分析資料的能力。 【教學過程】 導(dǎo)入新課 師：上兩節(jié)課我們已經(jīng)學習了數(shù)列的定義以及給出表示數(shù)列的幾種方法—列舉法、通項法，遞推公式、圖像法。這些方法分別從不同的角度反映了數(shù)列的特點。下面我們觀察以下的幾個數(shù)列的.例子： (1)我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開始，每個5個數(shù)可以得到數(shù)列：0,5,10,15,20,() (2)2000年，在澳大利亞悉尼舉行的奧運會上，女子舉重被正式列為比賽項目，該項目工設(shè)置了7個級別，其中較輕的4個級別體重組成的數(shù)列（單位：kg）為48,53,58,63,()試問第五個級別體重多少？ (3)為了保證優(yōu)質(zhì)魚類有良好的生活環(huán)境，水庫管理員定期放水清庫以清除水庫中的雜魚。如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。即可得到一個數(shù)列：18,15.5,13,10.5,8，（），則第六個數(shù)應(yīng)為多少？ (4)10072,10144,10216,(),10360 請同學們回答以上的四個問題 生：第一個數(shù)列的第6項為25，第二個數(shù)列的第5個數(shù)為68，第三個數(shù)列的第6個數(shù)為5.5，第四個數(shù)列的第4個數(shù)為10288。 師：我來問一下，你是依據(jù)什么得到了這幾個數(shù)的呢？請以第二個數(shù)列為例說明一下。 生：第二個數(shù)列的后一項總比前一項多5，依據(jù)這個規(guī)律我就得到了這個數(shù)列的第5個數(shù)為68. 師：說的很好！同學們再仔細地觀察一下以上的四個數(shù)列，看看以上的四個數(shù)列是否有什么共同特征？請注意，是共同特征。 生1：相鄰的兩項的差都等于同一個常數(shù)。 師：很好！那作差是否有順序？是否可以顛倒？ 生2：作差的順序是后項減去前項，不能顛倒！ 師：正如生1的總結(jié)，這四個數(shù)列有共同的特征：從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)（即等差）。我們叫這樣的數(shù)列為等差數(shù)列。這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容。 推進新課 等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。從剛才的分析，同學們應(yīng)該注意公差d一定是由后項減前項。 師：有哪個同學知道定義中的關(guān)鍵字是什么？ 生2：“從第二項起”和“同一個常數(shù)” 教學目標： 1。通過生活中優(yōu)化問題的學習，體會導(dǎo)數(shù)在解決實際問題中的作用，促進 學生全面認識數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值和文化價值。 2。通過實際問題的研究，促進學生分析問題、解決問題以及數(shù)學建模能力的提高。 教學重點： 如何建立實際問題的目標函數(shù)是教學的重點與難點。 教學過程： 一、問題情境 問題1把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長寬各為多少時面積最大？ 問題2把長為100cm的鐵絲分成兩段，各圍成正方形，怎樣分法，能使兩個正方形面積之各最小？ 問題3做一個容積為256L的方底無蓋水箱，它的高為多少時材料最省？ 二、新課引入 導(dǎo)數(shù)在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法，可以求出實際生活中的某些最值問題。 1。幾何方面的應(yīng)用（面積和體積等的最值）。 2。物理方面的應(yīng)用（功和功率等最值）。 3。經(jīng)濟學方面的應(yīng)用（利潤方面最值）。 三、知識建構(gòu) 例1在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？ 說明1解應(yīng)用題一般有四個要點步驟：設(shè)——列——解——答。 說明2用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，與求函數(shù)極值方法類似，加一步與幾個極 值及端點值比較即可。 例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才 能使所用的材料最省？ 變式當圓柱形金屬飲料罐的`表面積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最省？ 說明1這種在定義域內(nèi)僅有一個極值的函數(shù)稱單峰函數(shù)。 說明2用導(dǎo)數(shù)法求單峰函數(shù)最值，可以對一般的求法加以簡化，其步驟為： S1列：列出函數(shù)關(guān)系式。 S2求：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 S3述：說明函數(shù)在定義域內(nèi)僅有一個極大（小）值，從而斷定為函數(shù)的最大（小）值，必要時作答。 例3在如圖所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為，電動勢為。外電阻為 多大時，才能使電功率最大？最大電功率是多少？ 說明求最值要注意驗證等號成立的條件，也就是說取得這樣的值時對應(yīng)的自變量必須有解。 例4強度分別為a，b的兩個光源A，B，它們間的距離為d，試問：在連接這兩個光源的線段AB上，何處照度最小？試就a＝8，b＝1，d＝3時回答上述問題（照度與光的強度成正比，與光源的距離的平方成反比）。 例5在經(jīng)濟學中，生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)，記為；出售單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為；稱為利潤函數(shù)，記為。 （1）設(shè)，生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際成本最低？ （2）設(shè)，產(chǎn)品的單價，怎樣的定價可使利潤最大？ 四、課堂練習 1。將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分成____和___。 2。在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當?shù)走吷细邽?時，它的面積最大。 3。有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起做成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形邊長應(yīng)為多少？ 4。一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l＝AB＋BC＋CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b。 五、回顧反思 （1）解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，找出適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實際意義。 （2）根據(jù)問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較。 （3）相當多有關(guān)最值的實際問題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡單。 六、課外作業(yè) 課本第38頁第1，2，3，4題。 教學目標： 1．進一步熟練掌握比較法證明不等式； 2．了解作商比較法證明不等式； 3．提高學生解題時應(yīng)變能力. 教學重點： 比較法的應(yīng)用 教學難點： 常見解題技巧 教學方法啟發(fā)引導(dǎo)式 教學活動 （一）導(dǎo)入新課 （教師活動）教師打出字幕（復(fù)習提問），請三位同學回答問題，教師點評． （學生活動）思考問題，回答． ［字幕］1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？ 2．比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？ 3．用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？ [點評]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對差式的變形．在我們所學的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節(jié)課我們將繼續(xù)學習比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用．（板書課題） 設(shè)計意圖：復(fù)習鞏固已學知識，銜接新知識，引入本節(jié)課學習的內(nèi)容． （二）新課講授 【嘗試探索，建立新知】 （教師活動）提出問題，引導(dǎo)學生研究解決問題，并點評． （學生活動）嘗試解決問題． [問題] 1．化簡 2．比較與（）的大小． （學生解答問題） ［點評］ ①問題1，我們采用了因式分解的方法進行簡化． ②通過學習比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小． 設(shè)計意圖：啟發(fā)學生研究問題，建立新知，形成新的知識體系． 【例題示范，學會應(yīng)用】 （教師活動）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學生研究問題，井點評解題過程． （學生活動）分析，研究問題． ［字幕］例題3已知 a ， b 是正數(shù)，且，求證 ［分析］依題目特點，作差后重新組項，采用因式分解來變形． 證明：（見課本） ［點評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范． ［點評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學 思想方法．要理解為什么分類，怎樣分類．分類時要不重不漏． ［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點．甲有一半時間以速度 m 行走，另一半時間以速度 n 行走；有一半路程乙以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走，如果，問甲、乙兩人誰先到達指定地點． [分析]設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程為，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為，要回答題目中的問題，只要比較、的`大小就可以了． 解：（見課本） ［點評］此題是一個實際問題，學習了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實際問題．要培養(yǎng)自己學數(shù)學，用數(shù)學的良好品質(zhì)． 設(shè)計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法．培養(yǎng)學生應(yīng)用知識解決實際問題的能力． 【課堂練習】 （教師活動）教師打出字幕練習，要求學生獨立思考，完成練習；請甲、乙兩位學生板演；巡視學生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點評練習中存在的問題． （學生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演． ［字幕］練習：1．設(shè)，比較與的大小． 2．已知，求證 設(shè)計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用．靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號．反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學． 【分析歸納、小結(jié)解法】 （教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟． （學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上． 1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法． 2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等． 3．會用分類討論的方法確定差式的符號． 4．利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟．②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答． 設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系． （三）小結(jié) （教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學的知識及數(shù)學 思想與方法． （學生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記． 本節(jié)課學習了對差式變形的一種常用方法因式分解法；對符號確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實際問題． 通過學習比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊含的重要數(shù)學思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學習中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學知識解決實際問題的能力． 設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生對所學的知識進行概括歸納的能力，鞏固所學的知識，領(lǐng)會化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學 思想方法． （四）布置作業(yè) 1．課本作業(yè)：P17 7、8。 2，思考題：已知，求證 3．研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變） 設(shè)計意圖：思考題讓學生了解商值比較法，掌握分類討論的思想．研究性題是使學生理論聯(lián)系實際，用數(shù)學解決實際問題，提高應(yīng)用數(shù)學的能力． （五）課后點評 1．教學評價、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學生深入思考問題，解決問題，反饋學習信息，調(diào)節(jié)教學活動． 2．教學措施的設(shè)計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學習差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學生對所學的知識會應(yīng)用．例題設(shè)計目的在于突出重點，突破難點，學會應(yīng)用 【高中數(shù)學教案】相關(guān)文章： 高中數(shù)學教案12-29 高中數(shù)學教案07-11 高中數(shù)學教案07-20 高中數(shù)學教案【推薦】01-25 高中數(shù)學教案【精】01-25 高中數(shù)學教案【熱】01-27 【薦】高中數(shù)學教案01-29 【熱】高中數(shù)學教案01-29 【精】高中數(shù)學教案02-04 高中數(shù)學教案【熱門】02-04高中數(shù)學教案5
高中數(shù)學教案6
高中數(shù)學教案7
高中數(shù)學教案8
高中數(shù)學教案9
高中數(shù)學教案10
高中數(shù)學教案11
高中數(shù)學教案12
高中數(shù)學教案13
高中數(shù)學教案14
高中數(shù)學教案15
高中數(shù)學教案16
高中數(shù)學教案17
高中數(shù)學教案18
高中數(shù)學教案19
高中數(shù)學教案20