數(shù)學(xué)不等式的證明教案
數(shù)學(xué)不等式的證明教案
教學(xué)目標(biāo)
1．進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；
2．了解作商比較法證明不等式；
3．提高學(xué)生解題時應(yīng)變能力.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn) 常見解題技巧
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動
（一）導(dǎo)入新課
（教師活動）教師打出字幕（復(fù)習(xí)提問），請三位同學(xué)回答問題，教師點(diǎn)評．
（學(xué)生活動）思考問題，回答．
［字幕］1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2．比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？
3．用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？
[點(diǎn)評]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對差式的變形．在我們所學(xué)的知識中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用．（板書課題）
設(shè)計意圖：復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)知識，銜接新知識，引入本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容．
（二）新課講授
【嘗試探索，建立新知】
（教師活動）提出問題，引導(dǎo)學(xué)生研究解決問題，并點(diǎn)評．
（學(xué)生活動）嘗試解決問題．
[問題]
1．化簡
2．比較 與 （ ）的大小．
（學(xué)生解答問題）
［點(diǎn)評］
①問題1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡化．
②通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來比較兩個式子的大小．
設(shè)計意圖：啟發(fā)學(xué)生研究問題，建立新知，形成新的知識體系．
【例題示范，學(xué)會應(yīng)用】
（教師活動）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究問題，井點(diǎn)評解題過程．
（學(xué)生活動）分析，研究問題．
［字幕］例題3 已知a，b是正數(shù)，且 ，求證
［分析］依題目特點(diǎn)，作差后重新組項，采用因式分解來變形．
證明：（見課本）
［點(diǎn)評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個因式的積的形式，在確定符號中，表達(dá)過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個好的示范．
［點(diǎn)評］解這道題在判斷符號時用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法．要理解為什么分類，怎樣分類．分類時要不重不漏．
［字幕］例5甲、乙兩人同時同地沿同一條路線走到同一地點(diǎn)．甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果，問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)．
[分析]設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為，甲、乙兩人走完這段路程用的時間分別為 ，要回答題目中的問題，只要比較 、的大小就可以了．
解：（見課本）
［點(diǎn)評］此題是一個實際問題，學(xué)習(xí)了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實際問題．要培養(yǎng)自己學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的良好品質(zhì)．
設(shè)計意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號的方法．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識解決實際問題的能力．
【課堂練習(xí)】
（教師活動）教師打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；請甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時糾正；點(diǎn)評練習(xí)中存在的問題．
（學(xué)生活動）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演．
［字幕］練習(xí)：1．設(shè) ，比較 與 的大小．
2．已知 ，求證
設(shè)計意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用．靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號．反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．
【分析歸納、小結(jié)解法】
（教師活動）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對差式變形、確定符號的常用方法和利用不等式解決實際問題的解題步驟．
（學(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上．
1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個式子大小的一種重要方法．
2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．
3．會用分類討論的方法確定差式的符號．
4．利用不等式解決實際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟．②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答．
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識體系．
（三）小結(jié)
（教師活動）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識及數(shù)學(xué)思想與方法．
（學(xué)生活動）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．
本節(jié)課學(xué)習(xí)了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實際問題．
通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號的重要方法，并在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力．
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識，領(lǐng)會化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學(xué)思想方法．
（四）布置作業(yè)
1．課本作業(yè)：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3．研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時間和船在靜水中來回行駛一次的時間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設(shè)計意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類討論的思想．研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實際，用數(shù)學(xué)解決實際問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．
（五）課后點(diǎn)評
1．教學(xué)評價、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，解決問題，反饋學(xué)習(xí)信息，調(diào)節(jié)教學(xué)活動．
2．教學(xué)措施的設(shè)計：由于對差式變形，確定符號是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)差式變形的方法和符號的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類討論確定符號，例5使學(xué)生對所學(xué)的知識會應(yīng)用．例題設(shè)計目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會應(yīng)用。
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