高二年級數學期末備考知識點

高二年級數學期末備考知識點

　　一、集合與簡易邏輯：

　　一、理解集合中的有關概念

　　（1）集合中元素的特征： 確定性 ， 互異性 ， 無序性 。

　　（2）集合與元素的關系用符號=表示。

　　（3）常用數集的符號表示：自然數集 ；正整數集 ；整數集 ；有理數集 、實數集 。

　　（4）集合的表示法： 列舉法 ， 描述法 ， 韋恩圖 。

　　（5）空集是指不含任何元素的集合。

　　空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

　　二、函數

　　映射與函數：

　　（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函數的概念：

　　二、函數的三要素：

　　相同函數的判斷方法：①對應法則 ；②定義域 （兩點必須同時具備）

　　（1）函數解析式的求法：

　　①定義法（拼湊）：②換元法：③待定系數法：④賦值法：

　　（2）函數定義域的求法：

　　①含參問題的定義域要分類討論；

　　②對于實際問題，在求出函數解析式后；必須求出其定義域，此時的定義域要根據實際意義來確定。

　　（3）函數值域的求法：

　　①配方法：轉化為二次函數，利用二次函數的特征來求值；常轉化為型如： 的形式；

　　②逆求法（反求法）：通過反解，用 來表示 ，再由 的取值范圍，通過解不等式，得出 的取值范圍；常用來解，型如： ；

　　④換元法：通過變量代換轉化為能求值域的函數，化歸思想；

　　⑤三角有界法：轉化為只含正弦、余弦的函數，運用三角函數有界性來求值域；

　　⑥基本不等式法：轉化成型如： ，利用平均值不等式公式來求值域；

　　⑦單調性法：函數為單調函數，可根據函數的單調性求值域。

　　⑧數形結合：根據函數的幾何圖形，利用數型結合的方法來求值域。

　　三、函數的性質：

　　函數的單調性、奇偶性、周期性

　　單調性：定義：注意定義是相對與某個具體的區間而言。

　　判定方法有：定義法（作差比較和作商比較）

　　導數法（適用于多項式函數）

　　復合函數法和圖像法。

　　應用：比較大小，證明不等式，解不等式。

　　奇偶性：定義：注意區間是否關于原點對稱，比較f（x） 與f（—x）的關系。f（x） —f（—x）=0 f（x） =f（—x） f（x）為偶函數；

　　f（x）+f（—x）=0 f（x） =—f（—x） f（x）為奇函數。

　　判別方法：定義法， 圖像法 ，復合函數法

　　應用：把函數值進行轉化求解。

　　周期性：定義：若函數f（x）對定義域內的任意x滿足：f（x+T）=f（x），則T為函數f（x）的周期。

　　其他：若函數f（x）對定義域內的任意x滿足：f（x+a）=f（x—a），則2a為函數f（x）的周期。

　　應用：求函數值和某個區間上的函數解析式。

　　四、圖形變換：函數圖像變換：（重點）要求掌握常見基本函數的圖像，掌握函數圖像變換的一般規律。

　　常見圖像變化規律：（注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯系起來思考）

　　平移變換 y=f（x）→y=f（x+a），y=f（x）+b

　　注意：（ⅰ）有系數，要先提取系數。如：把函數y=f（2x）經過 平移得到函數y=f（2x+4）的圖象。

　　（ⅱ）會結合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意義。

　　對稱變換 y=f（x）→y=f（—x），關于y軸對稱

　　y=f（x）→y=—f（x） ，關于x軸對稱

　　y=f（x）→y=f|x|，把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關于x軸對稱

　　y=f（x）→y=|f（x）|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關于y軸對稱。（注意：它是一個偶函數）

　　伸縮變換：y=f（x）→y=f（ωx），

　　y=f（x）→y=Af（ωx+φ）具體參照三角函數的圖象變換。

　　一個重要結論：若f（a—x）=f（a+x），則函數y=f（x）的圖像關于直線x=a對稱；

　　五、反函數：

　　（1）定義：

　　（2）函數存在反函數的條件：

　　（3）互為反函數的定義域與值域的關系：

　　（4）求反函數的步驟：①將 看成關于 的方程，解出 ，若有兩解，要注意解的選擇；②將 互換，得 ；③寫出反函數的定義域（即 的值域）。

　　（5）互為反函數的圖象間的關系：

　　（6）原函數與反函數具有相同的單調性；

　　（7）原函數為奇函數，則其反函數仍為奇函數；原函數為偶函數，它一定不存在反函數。

　　六、常用的初等函數：

　　（1）一元一次函數：

　　（2）一元二次函數：

　　一般式

　　兩點式

　　頂點式

　　二次函數求最值問題：首先要采用配方法，化為一般式，

　　有三個類型題型：

　　（1）頂點固定，區間也固定。如：

　　（2）頂點含參數（即頂點變動），區間固定，這時要討論頂點橫坐標何時在區間之內，何時在區間之外。

　　（3）頂點固定，區間變動，這時要討論區間中的參數。

　　等價命題 在區間 上有兩根 在區間 上有兩根 在區間 或 上有一根

　　注意：若在閉區間 討論方程 有實數解的情況，可先利用在開區間 上實根分布的情況，得出結果，在令 和 檢查端點的情況。

　　（3）反比例函數：

　　（4）指數函數：

　　指數函數：y= （a>o，a≠1），圖象恒過點（0，1），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0

　　（5）對數函數：

　　對數函數：y= （a>o，a≠1） 圖象恒過點（1，0），單調性與a的值有關，在解題中，往往要對a分a>1和0

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